Para transformar uma integral para coordenadas polares, precisamos substituir as coordenadas cartesianas (x, y) pelas coordenadas polares (r, θ).

As fórmulas para converter coordenadas cartesianas para coordenadas polares são as seguintes:

x = r cos θ

y = r sin θ

Substituindo essas fórmulas na integral, obtemos a seguinte integral em coordenadas polares:

\iint_R f(x, y) dx dy = \iint_D f(r cos θ, r sin θ) r dr dθ

Onde:

R é a região de integração em coordenadas cartesianas

D é a região de integração em coordenadas polares

f(x, y) é a função a ser integrada

Por exemplo, considere a integral seguinte em coordenadas cartesianas:

\iint_R x^2 dx dy

A região de integração R é um círculo de raio 1 centrado na origem.

Para transformar essa integral para coordenadas polares, precisamos determinar a região de integração D em coordenadas polares.

A equação da circunferência de raio 1 centrada na origem em coordenadas polares é:

r = 1

Portanto, a região de integração D é dada por:

D = \{(r, θ) | 0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ θ ≤ 2π\}

Substituindo as coordenadas cartesianas por coordenadas polares na integral, obtemos:

\iint_R x^2 dx dy = \iint_D (r cos θ)^2 r dr dθ

Aplicando a regra da potência, obtemos:

\iint_R x^2 dx dy = \iint_D r^3 cos^2 θ dr dθ

Essa é a integral em coordenadas polares equivalente à integral original.

Aqui estão algumas dicas para transformar integrais para coordenadas polares:

Comece identificando a região de integração em coordenadas cartesianas.

Converta as coordenadas cartesianas para coordenadas polares.

Aplique a regra da potência ou outras regras de integração, se necessário.

Verifique se a integral resultante é equivalente à integral original.