Resposta:

Portanto, a probabilidade de termos as vogais juntas é de aproximadamente 0,4286 e a probabilidade de termos as consoantes em ordem alfabética é de aproximadamente 0,0238.

Explicação passo-a-passo:

Para determinar a probabilidade de ocorrência desses eventos, precisamos calcular a quantidade total de anagramas possíveis da palavra "BOTAFOGO" e a quantidade de anagramas que satisfazem as condições dadas.

Vamos começar calculando a quantidade total de anagramas possíveis da palavra "BOTAFOGO". A palavra tem 8 letras, mas existem letras repetidas, portanto, precisamos considerar a permutação das letras levando em conta as repetições. Podemos fazer isso usando a fórmula:

N! / (n1! * n2! * ... * nk!)

Onde N é o total de letras e n1, n2, ..., nk são as repetições de cada letra.

No caso de "BOTAFOGO", temos 8 letras no total, com 2 "O" repetidos. Portanto, a fórmula fica:

8! / (2! * 2!)

Agora, vamos calcular o valor numérico dessa expressão:

8! = 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 40.320

2! = 2 * 1 = 2

Substituindo esses valores na fórmula:

40.320 / (2 * 2) = 40.320 / 4 = 10.080

Portanto, existem 10.080 anagramas possíveis da palavra "BOTAFOGO".

a) Agora, vamos calcular a quantidade de anagramas em que as vogais estão juntas. Nesse caso, consideramos as vogais "O", "A" e "O" como uma única unidade. Portanto, temos 6 unidades (B, T, F, G, V e OAO) para permutar.

A quantidade de anagramas em que as vogais estão juntas é dada por:

6! * 3!

Onde 6! é a permutação das 6 unidades e 3! é a permutação das vogais "O", "A" e "O" entre si.

Calculando o valor numérico dessa expressão:

6! = 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 720

3! = 3 * 2 * 1 = 6

Substituindo esses valores na fórmula:

720 * 6 = 4.320

Portanto, existem 4.320 anagramas em que as vogais estão juntas.

b) Agora, vamos calcular a quantidade de anagramas em que as consoantes estão em ordem alfabética. Nesse caso, consideramos as consoantes "B", "T", "F" e "G" como uma única unidade. Portanto, temos 5 unidades (BT, F, G, O e OAO) para permutar.

A quantidade de anagramas em que as consoantes estão em ordem alfabética é dada por:

5! * 2!

Onde 5! é a permutação das 5 unidades e 2! é a permutação das consoantes "B", "T", "F" e "G" entre si.

Calculando o valor numérico dessa expressão:

5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120

2! = 2 * 1 = 2

Substituindo esses valores na fórmula:

120 * 2 = 240

Portanto, existem 240 anagramas em que as consoantes estão em ordem alfabética.

A probabilidade de termos as vogais juntas é dada por:

Probabilidade = Quantidade de anagramas com as vogais juntas / Quantidade total de anagramas

Probabilidade = 4.320 / 10.080 ≈ 0,4286 (arredondado para 4 casas decimais)

A probabilidade de termos as consoantes em ordem alfabética é dada por:

Probabilidade = Quantidade de anagramas com as consoantes em ordem alfabética / Quantidade total de anagramas

Probabilidade = 240 / 10.080 ≈ 0,0238 (arredondado para 4 casas decimais)

Portanto, a probabilidade de termos as vogais juntas é de aproximadamente 0,4286 e a probabilidade de termos as consoantes em ordem alfabética é de aproximadamente 0,0238.