Resposta:

A probabilidade de um evento ocorrer é dada pelo número de resultados favoráveis dividido pelo número total de resultados possíveis.

No caso em questão, o evento de interesse é a bola de número 5 estar entre as bolas sorteadas.

O número de resultados favoráveis é o número de maneiras de escolher 3 bolas dentre as 10, de forma que a bola de número 5 esteja incluída.

Isso pode ser feito de 8 * 7 * 6 / 3 * 2 * 1 = 56 maneiras.

O número total de resultados possíveis é o número de maneiras de escolher 3 bolas dentre as 10, sem restrição.

Isso pode ser feito de 10 * 9 * 8 / 3 * 2 * 1 = 120 maneiras.

Portanto, a probabilidade da bola de número 5 estar entre as bolas sorteadas é de 56 / 120 = 7/15.

Resposta: 7/15

Resposta:

Inicialmente começamos calculando TODAS as possibilidades ao retirarmos três bolinhas, independentemente de sair a bolinha número 5 ou não. Queremos ver todos os cenários possíveis e, para isso, precisamos entender se o caso é de combinação ou arranjo. Suponha que tiramos três bolinhas na seguinte ordem:
7 - 1 - 4

Em outro momento fazemos outra coleta e os números são:

1 - 4 - 7

Nesses casos podemos dizer que são resultados diferentes? A ordem em que eu escrevi foi diferente, mas perceba que isso não muda o conjunto. A bolinha 7 estar no começo ou no fim não modifica a resposta. Caso ainda esteja com dúvida, pense que estamos enchendo uma sacola com cada bolinha que retiramos da urna, ou seja, a ordem não fará nenhuma diferença dentro da sacola ao final. No enunciado não há nada que dê a entender que a ordem de retirada das bolinhas importa, portanto, trata-se de um caso de COMBINAÇÃO!

Portanto, para calcular todas as possibilidades iremos, num grupo de 10 bolinhas enumeradas, pegar 3. Assim:

 [tex]C_{10,3} = \frac{10!}{(10-3)! . 3!} = \frac{10.9.8.7!}{7!.3!} = \frac{10.9.8}{3!} = 120[/tex] possibilidades no total

Como a questão descreve, duas das três bolinhas sorteadas podem ter quaisquer numerações, o que importa é garantir que, no final do sorteio, apenas UMA das três seja a bolinha número 5. Portanto, precisamos saber quantas opções/possibilidades existem de escolhermos duas bolinhas diferentes da 5. Ou seja, queremos saber quantas duplas podemos formar com as bolinhas 1,2,3,4,6,7,8 e 9. Tem-se então:

[tex]C_{9,2} = \frac{9!}{(9-2)! . 2!} = \frac{9.8.7!}{7!.2!} = \frac{9.8}{2.1} = 36[/tex] possibilidades de formar uma dupla de bolinhas sem a número 5.

Agora restou o espaço da 5ª bolinha, ou seja, precisamos saber quantas opções temos de tirar exatamente/obrigatoriamente a bolinha número 5. Para isso ocorrer é necessário GARANTIR que apenas a bolinha 5 seja sorteada. Logo:

[tex]C_{1,1} = \frac{1!}{(1-1)! . 1!} = \frac{1}{1.1} = 1[/tex] possibilidade de sortear a bolinha 5.
(Lembrando que 0! = 1)

Assim, como queremos três bolinhas, sendo uma dupla com qualquer numeração E uma bolinha 5, calculamos:

[tex]P_{UmaBolinha5} = \frac{C_{9,2}.C_{1,1}}{C_{10,3}} =\frac{36.1}{120}=\frac{36}{120}=\frac{3}{10}[/tex] ou 0.3 ou 30% de chance.