Resposta:

O máximo divisor comum de a e b é 2.

A primeira alternativa é a alternativa correta.

Explicação passo-a-passo:

Vamos à resolução da Tarefa:

[tex] {3}^{x + y} = 729[/tex]

Fazendo a fatoração de 729, obteremos:

729 ÷ 3 = 243

243 ÷ 3 = 81

81 ÷ 3 = 27

27 ÷ 3 = 9

9 ÷ 3 = 3

3 ÷ 3 = 1

Logo, 729 = 3×3×3×3×3×3 = 3⁶.

Assim:

[tex] {3}^{x + y} = {3}^{6} \\ logo \\ x + y = 6[/tex]

Agora, vamos retomar a seguinte propriedade logarítmica:

[tex] log(x) + log(y) = log(x \times y) [/tex]

Então:

[tex]log(x) + log(y) = log(8) \\ log(x \times y) = log(8) \\ logo \\ x \times y = 8[/tex]

Portanto, está formado um sistema linear de equações de primeiro grau:

[tex]x + y = 6 \\ x \times y = 8[/tex]

Para a resolução do sistema, utilizaremos o método da substituição.

Da primeira equação, isolaremos a variável "x":

[tex]x + y = 6 \\ x = 6 - y[/tex]

Com o isolamento da variável "x", iremos à segunda equação:

[tex]x \times y = 8 \\ (6 - y) \times y = 8 \\ 6y - {y}^{2} = 8 \\ 0 = {y}^{2} - 6y + 8[/tex]

Agora, resolveremos a equação de segundo grau, com o método da fatoração:

[tex]0 = {y}^{2} - 6y + 8 \\ 0 = {y}^{2} - 2y - 4y + 8 \\ 0 = y \times (y - 2) - 4 \times (y - 2) \\ 0 = (y - 2) \times (y - 4) \\ 0 = y - 2 \\ ou \\ 0 = y - 4[/tex]

Logo:

[tex]0 = y - 2 \\ 0 + 2 = y \\ 2 = y \\ ou \\ 0 = y - 4 \\ 0 + 4 = y \\ 4 = y[/tex]

Agora, vamos ao encontro da variável "x", através da primeira equação:

[tex]x + y = 6 \\ y = 2 \\ x + 2 = 6 \\ x = 6 - 2 \\ x = 4 \\ y = 4 \\ x + 4 = 6 \\ x = 6 - 4 \\ x = 2[/tex]

Portanto, os valores de x e y são 2 e 4 ou 4 e 2.

Logo, os valores de a e b serão 2 e 4 ou 4 e 2.

Vamos ao máximo divisor comum de 2 e 4:

4, 2 | 2

2, 1 | 2

1, 1

O máximo divisor comum de a e b é 2.

A primeira alternativa é a alternativa correta.