Réponse :

u0 = 1

un+1 = 1/2)un + 1

1)  1 ≤ un ≤ 2

initialisation : vérifions que pour n = 0  ; P(0) est vraie

        1 ≤ u0 = 1 ≤ 2  donc  P(0) est vraie

hérédité : supposons que pour un entier n;  P(n) est vraie et montrons que P(n+1) est vraie  autrement dit il faut montrer   1 ≤ un+1 ≤ 2

 1 ≤ un ≤ 2  ⇔ 1 x 1/2 ≤ 1/2) x un ≤ 1/2) x 2  ⇔ 1/2 ≤ 1/2)un ≤ 1

⇔ 1/2 + 1 ≤ 1/2)un + 1 ≤ 1 + 1   ⇔ 3/2 ≤ 1/2)un + 1 ≤ 2 puisque 3/2 > 1

donc   1 ≤ 1/2)un + 1 ≤ 2     ⇔   1 ≤ un+1 ≤ 2   donc P(n+1) est vraie

conclusion :  pour n = 0 ; P(0) est vraie  et P(n) est héréditaire au rang n

donc par récurrence P(n) est vraie pour tout entier naturel n

essaye de faire seul le 2ème exemple

Explications étape par étape :