EXERCICE: (O.I.J) est un repére orthonormé, A(3,2) et B(2,-1) et (D) la droite d'équation 3x-y+6=0
1) montrer que (AB)//(D)
2) soit médiatrice la droite passant par A et de vecteur directeur U(4,-1). Donner l'équation de médiatrice
3) montrer que (D) et médiatrice sont sécantes et déterminer les coordonnées de E point d'intersection de (D) et médiatrice
4) soit F(m,o) un point du plan:
a) determiner m pour que AFBE soit un parallèlogramme
b) verifier que F appartient à (D)
1) montrer que (AB)//(D)
2) soit médiatrice la droite passant par A et de vecteur directeur U(4,-1). Donner l'équation de médiatrice
3) montrer que (D) et médiatrice sont sécantes et déterminer les coordonnées de E point d'intersection de (D) et médiatrice
4) soit F(m,o) un point du plan:
a) determiner m pour que AFBE soit un parallèlogramme
b) verifier que F appartient à (D)
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Réponse :
1. Pour montrer que (AB)//(D), on peut montrer que le vecteur AB est colinéaire au vecteur normal de la droite (D). Le vecteur AB a pour coordonnées (2-3, -1-2) = (-1, -3) et le vecteur normal de (D) a pour coordonnées (3, -1). On peut vérifier que (-1, -3) et (3, -1) sont colinéaires car ils sont proportionnels, c'est-à-dire que l'un est égal à l'autre multiplié par une constante non nulle.
2. Le vecteur U(4,-1) est orthogonal à la médiatrice de [AB] car c'est un vecteur directeur de la médiatrice. La médiatrice est donc perpendiculaire à AB, et donc (AB)//(D). La médiatrice passe par le milieu de [AB], qui a pour coordonnées ((3+2)/2, (2-1)/2) = (2.5, 0.5). Elle a donc pour équation y = kx + n où k est le coefficient directeur et n est l'ordonnée à l'origine. Comme la médiatrice est perpendiculaire à U, on a k = 1/4. De plus, la médiatrice passe par le point (2.5, 0.5), donc n = 0.5 - k*2.5 = 0.5 - 2/4 = -1/4. L'équation de la médiatrice est donc y = x/4 - 1/4.
3. On cherche à trouver le point d'intersection E de la droite (D) et de la médiatrice. Pour cela, on résout le système d'équations :
3x-y+6=0 (équation de la droite D)
y = x/4 - 1/4 (équation de la médiatrice)
En remplaçant y dans la première équation par son expression dans la deuxième équation, on obtient : 3x - (x/4 - 1/4) + 6 = 0. En résolvant cette équation, on trouve x = 2. En remplaçant ce x dans l'équation de la médiatrice, on trouve y = 1/2. Donc E a pour coordonnées (2, 1/2).
4. a) On sait que les diagonales d'un parallélogramme se coupent en leur milieu. Donc le point M milieu de [AB] est aussi le milieu de [EF]. On a déjà calculé que M a pour coordonnées (2.5, 0.5), donc E a pour coordonnées (22.5-m, 20.5-o) = (5-m, 1-o). Pour que AFBE soit un parallélogramme, il faut que E soit symétrique de B par rapport à M, c'est-à-dire que MB = ME et que ME soit perpendiculaire à AB. On a MB = sqrt((2.5-2)^2 + (0.5-(-1))^2) = sqrt(2.25) = 3/2. Donc ME = 3/2. Comme ME est perpendiculaire à AB, on a (AB) = U
b) Pour vérifier si un point F appartient à une droite d'équation (D), il suffit de substituer les coordonnées de F dans l'équation de (D) et de vérifier si l'égalité est vérifiée.
Dans ce cas-ci, l'équation de (D) est 3x - y + 6 = 0.
Pour vérifier si le point F(m,0) appartient à (D), on substitue la valeur de m pour x et 0 pour y :
3m - 0 + 6 = 0
Ce qui donne :
3m = -6
m = -2
Donc si F(-2,0), alors F appartient à (D).