Dada o PVI y' - 2x^2 - 2y^2= 0 com y(1)=2. Podemos afirmar que: Escolha uma opção:
a. Pelo Teorema de Picard não existe solução para o PVI passando no ponto (1, 2).
b. Pelo Teorema de Picard passa exatamente duas soluções para o PVI passando no ponto (1, 2).
c. Pelo Teorema de Picard passa uma infinidade de soluções para o PVI no ponto (1, 2). d. Pelo Teorema de Picard passa uma única solução para o PVI no ponto (1, 2).
a. Pelo Teorema de Picard não existe solução para o PVI passando no ponto (1, 2).
b. Pelo Teorema de Picard passa exatamente duas soluções para o PVI passando no ponto (1, 2).
c. Pelo Teorema de Picard passa uma infinidade de soluções para o PVI no ponto (1, 2). d. Pelo Teorema de Picard passa uma única solução para o PVI no ponto (1, 2).
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Resposta:A resposta correta é (c).
O Teorema de Picard-Lindelöf estabelece que, para um problema de valor inicial y'=f(x,y), y(t0)=y0, com f(x,y) Lipschitziana em y, existe uma solução local em uma vizinhança de (t0,y0).
No caso do PVI dado, a função f(x,y)=-2x^2-2y^2 não é Lipschitziana em y. Isso significa que, para um dado x, existem duas funções y1(x) e y2(x) que satisfazem a equação diferencial e a condição inicial.
Portanto, pelo Teorema de Picard-Lindelöf, passam duas soluções para o PVI no ponto (1, 2).
As opções (a), (b) e (d) estão erradas. A opção (a) está errada porque o teorema de Picard-Lindelöf afirma que existe uma solução local, não que não existe solução. A opção (b) está errada porque o teorema de Picard-Lindelöf afirma que existem duas soluções, não uma única solução. A opção (d) está errada porque o teorema de Picard-Lindelöf afirma que existem duas soluções, não uma infinidade de soluções.
Aqui estão duas soluções explícitas para o PVI:
y1(x) = 2/(x-1)^2
y2(x) = -2/(x-1)^2
É fácil verificar que essas duas funções satisfazem a equação diferencial e a condição inicial.
Explicação passo a passo: