Dados os conjuntos A= { x ∈ ℤ│-3 < x ≤ 3 } e B= { x ∈ ℤ│x ≤ 5 } Determine:
a) A ⋃ B
b) A ⋂ B
c) A - B
d) B - A
a) A ⋃ B
b) A ⋂ B
c) A - B
d) B - A
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[tex]\blacksquare[/tex] Após construir e analisar os conjuntos dados, concluímos que:
a) [tex]\large{\text{$\mathsf{A \cup B = B}$}}[/tex]
b) [tex]\large{\text{$\mathsf{A \cap B = A}$}}[/tex]
c) [tex]\large{\text{$\mathsf{A-B= \emptyset }$}}[/tex]
d) [tex]\large{\text{$\mathsf{B-A= \{ \cdots, -5,-4,-3,4,5 \} }$}}[/tex]
Primeiro, vamos construir os conjuntos usando a lei de formação dada pelo enunciado.
Conjunto A
[tex]\Large{\text{$\mathsf{\{ x \in \mathbb{Z} | -3 < x \leq 3 \} }$}}[/tex]
Esse conjunto será composto pelos número inteiros que são menores ou iguais a 3 e maiores que -3. Veja que -3 não está incluso no conjunto:
[tex]\Large{\text{$\mathsf{A= \{-2,-1,0,1,2,3 \} }$}}[/tex]
Conjunto B
[tex]\Large{\text{$\mathsf{\{ x \in \mathbb{Z} | x \leq 5 \} }$}}[/tex]
Esse conjunto compreende todos os números inteiros que são menores ou iguais a 5. Veja que esse conjunto é infinito, pois existem infinitos números inteiros menores ou iguais a 5:
[tex]\Large{\text{$\mathsf{B= \{\cdots -2,-1,0,1,2,3,4,5 \} }$}}[/tex]
Usamos [tex]\Large{\text{$\mathsf{\cdots}$}}[/tex] para representar que existem infinitos números na sequência.
A união de A com B será a união entre os elementos dos dois conjuntos. Porém, essa união será o próprio conjunto B, pois [tex]\large{\text{$\mathsf{A \subseteq B}$}}[/tex] (A está contido em B).
[tex]\Large{\text{$\mathsf{A \cup B = B}$}}[/tex]
A interseção entre A e B serão os elementos que estão, ao mesmo tempo, em A e B. Olhando para os conjuntos, podemos ver que a interseção entre eles é o próprio conjunto A, pois A está contido em B:
[tex]\Large{\text{$\mathsf{A \cap B = A}$}}[/tex]
O conjunto A - B é o mesmo que "os elementos que estão em A e não estão em B".
Como dito acima, A está contido em B, então não existe elemento que está em A e não está em B, pois todos os elementos de A estão em B.
Então esse conjunto é vazio.
[tex]\Large{\text{$\mathsf{A-B= \emptyset }$}}[/tex]
O conjunto B - A serão "os elementos que estão em B e não estão em A.
Para encontrar os elementos que estão apenas em B, vamos retirar os elementos de A:
[tex]\Large{\text{$\mathsf{B-A= \{ \cdots, -5,-4,-3,4,5 \} }$}}[/tex]
Veja que esse conjunto também é infinito.
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