Réponse :

Avec une fonction auxiliaire

1. On considère la fonction g, définie sur R par :

g(x) = x3 - 3x -3.

a. Étudier le sens de variation et les limites de g, puis dresser son tableau de variation.

g est un polynôme dérivable sur R et sa dérivée g' est:

          g '(x) = 3x² - 3

                   = 3(x² - 1)

le signe de f ' est de signe de  x² - 1

x² - 1 ≥ 0  ⇔ x² ≥  ⇔ x ≤ - 1 ou x ≥ 1

x² - 1 ≤ 0   ⇔ x² ≤ 1  ⇔  x ≥ - 1  ou  x ≤ 1  donc  - 1 ≤ x ≤ 1

sur l'intervalle ]- ∞ ; - 1]U[1 ; + ∞[  on a g '(x) ≥ 0  donc g est croissante

sur l'intervalle [- 1 ; 1]  on a g '(x) ≤ 0  donc g est décroissante

lim g(x) = lim (x³ - 3x - 3)  = + ∞ - ∞  F.I

x→ + ∞

donc  x³ - 3x - 3 = x³(1 - 3/x² - 3/x³)

lim 3/x² = 0  et lim 3/x³ = 0   donc par addition lim(1 - 3/x² - 3/x³) = 1

x→+∞                 x→ + ∞                                          x → + ∞

et  lim x³ = + ∞  donc par produit  lim g(x) = + ∞

     x→ + ∞                                        x → + ∞

lim g(x) = lim x³(1 - 3/x² - 3/x³) = - ∞

x→ - ∞

         x        - ∞                        - 1                       1                        + ∞  

      g '(x)                    +              0          -           0             +

variation     - ∞ →→→→→→→→→→→ -1 →→→→→→→→→ - 5 →→→→→→→→→→ + ∞  

de g(x)                croissante          décroissante        croissante

b. Calculer g(3).

 g(3) = 3³ - 3*3 - 3 = 27 - 12 = 15

c. Démontrer que l'équation g(x) = 0 admet une unique solution dans R, que l’on notera delta

. la fonction g est continue sur R car dérivable sur R

. la fonction g est croissante sur [1 ; + ∞[

. lim g(x) = + ∞  et g(1) = - 5

 x → + ∞

d'après le TVI,  l'équation f(x) = 0 admet une unique solution Δ tel que g(Δ) = 0

d. À l'aide de la calculatrice, donner un

encadrement de a d'amplitude 10^-3

e. À l'aide des résultats précédents, établir le tableau de signe de g(x).

            x   - ∞                       Δ                    + ∞

         g(x)                -             0           +

2. fest la fonction définie, pour tout réel x différent de -1 et de 1, par

f(x) =2x^3 +3 /x^2 -1

a. Démontrer que, pour tout réel x différent de -1 et de 1 :

f’(x)=2xg(x) /(x^2 -1)^2

f est un quotient de deux fonctions dérivable sur R - {-1 ; 1} donc f est dérivable sur  R-{-1 ; 1}

f(x) = (2x^3 +3) /(x^2 -1)

f '(x) = (u/v)' = (u'v - v'u)/v²

u(x) = 2x³ + 3  ⇒ u'(x) = 6x²

v(x) = x² - 1  ⇒     v'(x) = 2x

f '(x) = (6x²(x² - 1) - 2x(2x³ + 3))/(x² - 1)²

       = (6x⁴ - 6x² - 4x⁴ - 6x)/(x² - 1)²

       = (2x⁴ - 6x² - 6x)/(x² - 1)²

       = 2x(x³ - 3x - 3)/(x² - 1)²

   f '(x) = 2xg(x)/(x² - 1)²  

b. Étudier le sens de variation de f puis dresser son tableau de variation.

f '(x) = 2xg(x)/(x² - 1)²      or (x² - 1)² > 0

            x    - ∞                    0                           Δ                         + ∞                      

          g(x)               -                           -            0              +  

          2x                  -           0             +                            +  

         f '(x)                 +           0             -             0             +

variation     - ∞ →→→→→→→→→ - 3 →→→→→→→→→→→ f(Δ)→→→→→→→→→→ + ∞

de f(x)                croissante          décroissante          croissante  

c. On a tracé ci-dessous la courbe C représentative de la fonction f

Démontrer que le point A de la courbe d'abscisse delta a pour ordonnée 3(2delta +3) /delta^2-1

g(Δ) = 0  ⇔ Δ³ - 3Δ - 3 = 0  ⇔ Δ³ = 3Δ + 3

f(Δ) = 2(3Δ + 3) + 3)/(Δ² - 1)

      = (6Δ + 6+3)/(Δ² - 1)

       = (6Δ + 9)/(Δ² - 1)

       = 3(2Δ + 3)/(Δ² - 1)

Explications étape par étape :