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Após a realização dos cálculos ✍️, podemos concluir mediante ao conhecimento de propriedades das proporções e sistema de equações de 1º grau que os números procurados são  8 e 28✅

Razão

Chama-se razão a divisão entre dois valores quaisquer onde o segundo é diferente de zero.

• Exemplo: razão de 3 para 2:

        [tex]\sf\dfrac{3}{2}[/tex]

• Razão de 5 para 6:

       [tex]\sf\dfrac{5}{6}[/tex]

Proporção

Proporção é uma igualdade entre duas razões.

exemplo:    [tex]\sf\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{12}[/tex]

Propriedade fundamental das propoções

Em toda proporção o produto dos extremos é igual ao produto dos meios. Ou seja dada a proporção   [tex]\sf\dfrac{a}{c}=\dfrac{d}{b}[/tex] onde

[tex]\sf a\longrightarrow extremo\\\sf b\longrightarrow extremo\\\sf c\longrightarrow meio\\\sf d\longrightarrow meio[/tex]

então

[tex]\sf a\cdot b=c\cdot d[/tex]

Sistema de equações de 1º grau

É o conjunto formado por duas equações de 1º grau com duas variáveis. por exemplo:

[tex]\begin{cases}\sf x+y=2\\\sf x-y=4\end{cases}[/tex]

Existem diversos métodos para resolver um sistema de equações do primeiro grau. No entanto um dos métodos mais práticos é chamado de método da adição que consiste em adicionar algebricamente as duas equações de modo que uma das variáveis  desapareça. Para isso, devemos nos  certificar de que dispomos de um sistema preparado que ocorre quando temos um mesmo coeficiente , com mesma variável e sinais opostos. por exemplo o sistema

[tex]\begin{cases}\sf 3x-2y=15\\\sf -3x+7y=20\end{cases}[/tex]  

é dito preparado pois temos:

mesma variável: no caso x

mesmo coeficiente: no caso 3

sinais diferentes: no caso um + e outro -

Quando um sistema não está preparado devemos prepará-lo da seguinte forma:

• Escolher a equação que possuir menores coeficientes
• Escolher a variável que se deseja eliminar
• Se as variáveis tiverem sinais contrários e coeficientes diferentes, colocamos como fator multiplicativo  o coeficiente da primeira variável na 2ª equação e o da 2ª equação na 1ª equação
• Após efetuar as devidas multiplicações teremos um sistema preparado.
• Se as variáveis tiverem mesmo sinal,coloca-se o coeficiente da 1ª equação na 2ª e o da 2ª equação na 1ª porém atente-se para mudar o sinal do fator multiplicativo em pelo menos um dos fatores.

Exemplos resolvidos:

1) Preparar o sistema  [tex]\begin{cases}\sf 2x+3y=17\\\sf3x+7y=28\end{cases}[/tex].

Aqui perceba que a equação mais simples é a 1ª e além disso a variável que possui menor coeficiente é x. Observe que o coeficiente de x na 1ª equação é positivo e na 2ª equação também. Vamos agora colocar como fator multiplicativo  o número 2 para a 2ª equação e o número -3 para a primeira equação ( atente-se para a mudança de sinal ).

dessa forma teremos:

[tex]\begin{cases}\sf2x+3y=17\cdot(\bf -3)\\\sf 3x+7y=28\cdot(\bf 2)\end{cases}\\\\\begin{cases}\sf -6x-9y=-51\\\sf6x+14y=56\end{cases}[/tex]

Perceba que depois de realizar o processo anterior temos um sistema preparado.

2) Preparar o sistema [tex]\begin{cases}\sf 4x+5y=23\\\sf3x-4y=-6\end{cases}[/tex].

Aqui  perceba na 1ª equação o coeficiente da variável y é 5 e na 2ª equação -4. Neste caso vamos escrever 5 como fator multiplicativo da 2ª equação e 4 como fator multiplicativo da 1ª equação.

[tex]\begin{cases}\sf4x+5y=23\cdot(\bf4)\\\sf3x-4y=-6\cdot(\bf5)\end{cases}\\\\\begin{cases}\sf16x+20y=92\\\sf15x-20y=-30\end{cases}[/tex]

Observe que após multiplicar o sistema pelos fatores multiplicativos obtemos um sistema preparado.

✍️Vamos a resolução da questão

Aqui iremos utilizar as letras x e y para representar o 1º e o 2º número, aplicar as proporções para escrever um sistema e em seguida preparar o sistema para resolvê-lo e assim encontrar os valores das variáveis.

É dito que dois números estão na proporção 2 para 7 dessa forma podemos escrever:

[tex]\sf\dfrac{x}{y}=\dfrac{2}{7}[/tex]

vamos aplicar a propriedade fundamental das proporções:

[tex]\sf 7\cdot x=2\cdot y\\\sf 7x=2y[/tex]

Escrevamos a igualdade anterior de outra maneira:

[tex]\sf 7x-2y=0[/tex]

Observe que agora temos uma equação de 1º grau com duas variáveis.

Note que o exercício informa que o dobro do primeiro mais o triplo do segundo é igual a 100. Desta forma podemos escrever:

[tex]\sf 2x+3y=100[/tex]

juntando as duas equações obtidas anteriormente formamos um sistema:

[tex]\begin{cases}\sf 7x-2y=0\\\sf 2x+3y=100\end{cases}[/tex]

Observe que o sistema não está preparado. Para preparar este sistema, vamos escrever 3 como fator multiplicativo da 1ª equação e 2 como fator multiplicativo da 2ª equação (perceba que  os coeficientes de y tem sinais opostos).

Dessa forma teremos:

[tex]\large\boxed{\begin{array}{l}\begin{cases}\sf7x-2y=0\cdot(\bf 3)\\\sf 2x+3y=100\cdot(\bf2)\end{cases}\\\\+\underline{\begin{cases}\sf 21x-6y=0\\\sf 4x+6y=200\end{cases}}\\\sf 25x=200\\\sf x=\dfrac{200}{25}\\\\\sf x=8\\\sf 7x-2y=0\\\sf 7x=2y\\\sf 2y=7x\\\sf 2y=7\cdot8\\\sf 2y=56\\\sf y=\dfrac{56}{2}\\\\\sf y=28\end{array}}[/tex]

Portanto os números procurados são 8 e 28✅

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