Seja x o número que queremos. Como 216/x resulta em resto 6, então x pode ser escrito da seguinte forma, em que n é um número inteiro:
216 = x n + 6
Além disso, como 169/x resulta em resto 1, a mesma analogia pode ser feita, com m sendo um inteiro:
169 = x m + 1
Isolando x em ambas as equações e igualando-as, temos:
(216 - 6)/n = (169 - 1)/m
210/n = 168/m
210m = 168n
Dividindo ambos os lados por 42, concluímos que:
5m = 4n
Como todos os números são inteiros, isto indica que m é um múltiplo de 4 e n é um múltiplo de 5, o que significa que podemos achar um número inteiro k tal que m = 4k e n = 5k. Logo, substituindo esses valores nas equações iniciais, ficamos com:
5xk = 210
4xk = 168
Ambas as equações indicam que x k = 42 (Divida a primeira por 5 e a segunda por 4 e chegará nisso). Essa equação possui várias soluções, por exemplo, x = 1 e k = 42, x = 2 e k =21 (Teste essas e verá que da certo!), mas como nos interessamos somente naquela cujo o valor de x é máximo, então escolhemos a solução x = 42 e k = 1. Com isso, vemos que o maior número possível é 42.
Este problema requer muita lógica matemática e um bom domínio sobre abstração e interpretação de problemas. Assim, é normal ter dúvidas. Se tiver alguma pergunta sobre a resolução, me chame nos comentários que ficarei feliz em te responder! Bons estudos e até mais ver.
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terezinhafreitasprof
É um problema capcioso sobre m.d.c., na verdade só temos que subtrair e depois achar o m.d.c. dos novos números e verificar que a divisão dos números originais por 42 deixam os restos desejados.
Lista de comentários
Resposta: 42.
Explicação passo a passo:
Seja x o número que queremos. Como 216/x resulta em resto 6, então x pode ser escrito da seguinte forma, em que n é um número inteiro:
216 = x n + 6
Além disso, como 169/x resulta em resto 1, a mesma analogia pode ser feita, com m sendo um inteiro:
169 = x m + 1
Isolando x em ambas as equações e igualando-as, temos:
(216 - 6)/n = (169 - 1)/m
210/n = 168/m
210m = 168n
Dividindo ambos os lados por 42, concluímos que:
5m = 4n
Como todos os números são inteiros, isto indica que m é um múltiplo de 4 e n é um múltiplo de 5, o que significa que podemos achar um número inteiro k tal que m = 4k e n = 5k. Logo, substituindo esses valores nas equações iniciais, ficamos com:
5xk = 210
4xk = 168
Ambas as equações indicam que x k = 42 (Divida a primeira por 5 e a segunda por 4 e chegará nisso). Essa equação possui várias soluções, por exemplo, x = 1 e k = 42, x = 2 e k =21 (Teste essas e verá que da certo!), mas como nos interessamos somente naquela cujo o valor de x é máximo, então escolhemos a solução x = 42 e k = 1. Com isso, vemos que o maior número possível é 42.
Este problema requer muita lógica matemática e um bom domínio sobre abstração e interpretação de problemas. Assim, é normal ter dúvidas. Se tiver alguma pergunta sobre a resolução, me chame nos comentários que ficarei feliz em te responder! Bons estudos e até mais ver.