Resposta:

A) ∞ e [5].

Explicação:

Para determinar o raio e o intervalo de convergência da série de potência Σ ∞ (1 / ((x - 5)^k * (k + 1)!)), podemos usar o teste da razão.

Primeiro, calculemos a razão entre os termos consecutivos da série:

R = |((1 / ((x - 5)^(k+1) * ((k+1) + 1)!)) / ((1 / ((x - 5)^k * (k + 1)!))))| = |(x - 5)/(k + 2)|

Agora, apliquemos o teste da razão para determinar o raio de convergência:

Lim (k -> ∞) |(x - 5)/(k + 2)| = 0

O resultado é 0, independentemente do valor de x. Portanto, o raio de convergência da série é ∞ (infinito), o que significa que a série converge para todos os valores de x.

Agora, para encontrar o intervalo de convergência, verificamos os extremos:

Quando x = 5:

A série se torna Σ ∞ (1 / ((5 - 5)^k * (k + 1)!)), que é Σ ∞ (1 / (k + 1)!), que é uma série convergente.

Quando x é infinitamente positivo ou negativo:

A série se torna Σ ∞ (1 / ((±∞ - 5)^k * (k + 1)!)), que é Σ ∞ (1 / (±∞ * (k + 1)!)), que é igual a 0 para qualquer k.

Portanto, o intervalo de convergência é [5], e a resposta correta é A) ∞ e [5].