Determine os quatro primeiros termos de uma série de potências para a função senxcosx
Escolha uma opção:
a. x−23x3+215x5−4315x7+...
b. x−12!x2+14!x3−15!x4+...
c. 1−12.3!x2+12.5!x4+12.7!x6+...
d. x−23!x3+25!x5+27!x7+
Escolha uma opção:
a. x−23x3+215x5−4315x7+...
b. x−12!x2+14!x3−15!x4+...
c. 1−12.3!x2+12.5!x4+12.7!x6+...
d. x−23!x3+25!x5+27!x7+
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Resposta:
Explicação passo a passo:Para encontrar os quatro primeiros termos da série de potências para a função
sin
(
�
)
cos
(
�
)
sin(x)cos(x), usamos a expansão em série de potências das funções
sin
(
�
)
sin(x) e
cos
(
�
)
cos(x):
sin
(
�
)
=
�
−
�
3
3
!
+
�
5
5
!
−
�
7
7
!
+
…
sin(x)=x−
3!
x
3
+
5!
x
5
−
7!
x
7
+…
cos
(
�
)
=
1
−
�
2
2
!
+
�
4
4
!
−
�
6
6
!
+
…
cos(x)=1−
2!
x
2
+
4!
x
4
−
6!
x
6
+…
Agora, multiplicamos termo a termo:
sin
(
�
)
cos
(
�
)
=
(
�
−
�
3
3
!
+
�
5
5
!
−
�
7
7
!
+
…
)
×
(
1
−
�
2
2
!
+
�
4
4
!
−
�
6
6
!
+
…
)
sin(x)cos(x)=(x−
3!
x
3
+
5!
x
5
−
7!
x
7
+…)×(1−
2!
x
2
+
4!
x
4
−
6!
x
6
+…)
Para encontrar os quatro primeiros termos, multiplicamos os termos relevantes dos primeiros quatro termos de cada série:
sin
(
�
)
cos
(
�
)
=
(
�
×
1
)
+
(
�
×
(
−
�
2
2
!
)
)
+
(
(
−
�
3
3
!
)
×
1
)
+
(
(
−
�
3
3
!
)
×
(
−
�
2
2
!
)
)
sin(x)cos(x)=(x×1)+(x×(−
2!
x
2
))+((−
3!
x
3
)×1)+((−
3!
x
3
)×(−
2!
x
2
))
Simplificando os termos:
sin
(
�
)
cos
(
�
)
=
�
−
�
3
2
!
−
�
3
3
!
+
�
5
6
sin(x)cos(x)=x−
2!
x
3
−
3!
x
3
+
6
x
5
Agora, vamos agrupar os termos semelhantes e obter os quatro primeiros termos da série de potências:
sin
(
�
)
cos
(
�
)
=
�
−
(
1
2
!
+
1
3
!
)
�
3
+
1
6
�
5
sin(x)cos(x)=x−(
2!
1
+
3!
1
)x
3
+
6
1
x
5
Portanto, a opção correta é a alternativa:
b.
�
−
�
3
2
!
−
�
3
3
!
+
�
5
6
+
…
x−
2!
x
3
−
3!
x
3
+
6
x
5
+…