A alternativa correta é a b. A partir da definição do que são equações diferenciais e como encontrar sua resposta com a técnica de separação de variáveis, temos então que, para o problema dado, a resposta é a b.

Equações diferenciais

Na matemática, uma equação diferencial é dada como uma equação que possui termos que envolvem a derivada de uma função. Para cada tipo de equação diferencial, há uma forma de resolução, e no caso do problema dado, temos uma que pode ser resolvida por meio da separação de variáveis.

Para isso, temos o seguinte:

[tex](1+y)dx-xdy=0[/tex]

O objetivo é separar as variáveis x e y com seus respectivos diferenciais, então, somando xdy em ambos lados:

(1 + y)dx = xdy

Agora, dividindo por x:

[tex]\frac{dx}{x}*(1 + y)=dy[/tex]

Dividindo por (1 + y):

[tex]\frac{dx}{x}=\frac{dy}{(1+y)}[/tex]

Agora, basta integrar em ambos lados com suas respectivas variáveis de integração:

[tex]\int{\frac{dx}{x}}=\int{\frac{dy}{(1+y)}}[/tex]

Para cada uma das integrais, temos:

• Para a primeira:
  
  [tex]I_1=\int{\frac{dx}{x}}\\\\I_1=\ln{x} + c_1[/tex]
  
  
• Para a segunda:
  
  [tex]I_2=\int{\frac{dy}{(1+y)}}\\\\I_2=\int{\frac{1}{1+y}}dy[/tex]
  
  Aplicando a substituição de u = 1 + y e derivando:
  [tex]{du}=dy[/tex]
  
  Agora, substituindo na integral I2:
  [tex]I_2=\int{\frac{1}{|u|}}du\\\\I_2=\ln{|u|}+c_2[/tex]
  
  Voltando para a variável y:
  [tex]I_2=\ln{|1+y|}+c_2[/tex]

Agora, basta aplicar as integrais na equação encontrada:

[tex]\ln{x} + c_1=\ln{|1+y|}+c_2\\\\\ln x - \ln|1+y|=C\\\\\ln{(\frac{x}{|1+y|})}=C[/tex]

Elevando ambos lados ao número de Euler e isolando x:

[tex]e^{\ln{(\frac{x}{|1+y|})}}=e^{C}\\\\\frac{x}{|1+y|}=e^C\\\\x=e^{C}(|1+y|)\\\\x=\pm e^C(1+y)[/tex]

Portanto, a alternativa correta é a a b.

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