em uma partida de futebol, ao ser chutada por um jogador, a bola descreveu até tocar o solo uma trajetória definida pela função f(x)=30x -x², em que y corresponde a altura da bola em relação ao solo após ter percorrido horizontalmente uma distância x. Observando o esquema a seguir e considerando as medidas x e y em metros, qual a distância que essa bola percorreu até tocar o solo pela primeira vez?
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A bola vai percorrer uma distancia de 30 metros para poder tocar no chão
a bola percorre um trajeto que é descrito pela seguinte função
[tex]F(x)=-x^2+30x[/tex]
Em que X é a distancia é F(x) ( F(x) pode ser chamado de Y) é a altura
A questão que saber em que valor de X a altura fica 0 metros, então basta colocarmo F(x) em 0
[tex]F(x)=-x^2+30x\\\\\\0=-x^2+30x\\\\\\-x^2+30x=0[/tex]
Ou seja temos uma equação do 2° . Podemos resolver essa equação de diferente formas, como formula de Bhaskara, quadrado perfeito. Mas, o metodo mais rapido seria fatorando essa expressão
(Fatorar significar simplificar, ou didivir em duas ou mais novas expressões que geram a expressão inicial )
Podemos Reescrever [tex]-x^2+30x=0[/tex] colocando o -X em evidencia
[tex]-X \cdot (X-30)=0[/tex]
É agora aplicamos uma propriedade fundamental da multiplicação, se temos 2 fatores sendo multiplicando é o resultado da 0, quer dizer que um dos fatores é 0
[tex]A\cdot B=0~~~~ \therefore ~~ A=0 ~~~OU~~~B=0[/tex]
Podemos chamar -X de A é (X-30) de B
[tex]-X=0\Rightarrow \boxed{X=0}\\\\(X-30)=0 \Rightarrow \boxed{X=30}[/tex]
Logo os dois valores que fazem a altura chegar no solo são 0 é 30 METROS
Como a questão diz que ela percorreu um trajeto a primeira vez que ela tocará no chão e em 30 metros
✅ Uma vez tendo resolvido os cálculos, percebemos que a distância horizontal entre o instante que a bola foi chutada para o alto até o momento em que a bola volta a tocar o solo é:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf d = 30~\textrm{m}\:\:\:}}\end{gathered}$}[/tex]
Seja a função quadrática:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} f(x) = 30x - x^2\end{gathered}$}[/tex]
Organizando a função do segundo grau em ordem decrescente de expoentes dos termos, temos:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} f(x) = -x^2 + 30x\end{gathered}$}[/tex]
Cujos coeficientes são:
[tex]\Large\begin{cases} a = -1\\b = 30\\c = 0\end{cases}[/tex]
A distância que a bola percorreu, a partir do instante em que ocorreu o chute até o instante em que ele volta a tocar o solo, pode ser calculada obtendo-se o módulo da diferença entre as raízes da função quadrática que representa a trajetória da bola. Para isso, fazemos:
[tex]\Large \text {$\begin{aligned}d & = |x' - x''|\\& = \bigg| \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} - \left(\frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}\right)\bigg|\\& = \bigg| \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} + \frac{b - \sqrt{\Delta}}{2a}\bigg|\\& = \bigg| \frac{-b - \sqrt{\Delta} + b - \sqrt{\Delta}}{2a}\bigg|\\& = \bigg| \frac{-2\sqrt{\Delta}}{2a}\bigg|\\& = \bigg| -\frac{\sqrt{\Delta}}{a}\bigg|\\& = \bigg| -\frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{a}\bigg|\end{aligned} $}[/tex]
Após deduzir a fórmula, chegamos à seguinte equação:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} {\bf I}~~~~~~~~d = \bigg| -\frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{a}\bigg|\end{gathered}$}[/tex]
Agora, basta inserir na equação "I" os valores dos coeficientes. Então:
[tex]\Large \text {$\begin{aligned}d & = \bigg| -\frac{\sqrt{30^2 - 4\cdot(-1)\cdot0}}{-1}\bigg|\\& = \bigg| -\frac{\sqrt{900 + 0}}{-1}\bigg|\\& = |\sqrt{900}|\\& = |30|\\& = 30\end{aligned} $}[/tex]
✅ Portanto, o resultado é:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} d = 30~\textrm{m}\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\LARGE\displaystyle\text{$\begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered}$}[/tex]
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