Para encontrar a série de Fourier de uma função ímpar, precisamos calcular apenas o componente seno da série. A série de Fourier para uma função ímpar é dada por:

f(x) = ∑[n=1 até infinito] bn * sin(nπx / L),

onde bn é dado por:

bn = (2/L) * ∫[-L até L] f(x) * sin(nπx / L) dx.

No caso da função ímpar f(x) = x no intervalo -L < x < L, vamos calcular apenas o termo seno da série de Fourier.

Para calcular bn, temos:

bn = (2/L) * ∫[-L até L] x * sin(nπx / L) dx.

Para integrar essa expressão, devemos usar a integração por partes:

u = x (função a ser derivada)

dv = sin(nπx / L) dx (função a ser integrada)

du = dx (derivada de u)

v = -L/nπ * cos(nπx / L) (integral de dv)

Aplicando o método de integração por partes, temos:

∫ x * sin(nπx / L) dx = -L/nπ * x * cos(nπx / L) + L/nπ * ∫ cos(nπx / L) dx.

Integrando o segundo termo, temos:

∫ cos(nπx / L) dx = L/nπ * sin(nπx / L).

Substituindo na expressão original, temos:

∫ x * sin(nπx / L) dx = -L/nπ * x * cos(nπx / L) + L²/n²π² * sin(nπx / L).

Agora, vamos calcular bn usando a fórmula:

bn = (2/L) * ∫[-L até L] x * sin(nπx / L) dx.

bn = (2/L) * [∫ x * sin(nπx / L) dx] de -L até L.

bn = (2/L) * [-L/nπ * x * cos(nπx / L) + L²/n²π² * sin(nπx / L)] de -L até L.

bn = (2/L) * [-L/nπ * L * cos(nπL / L) + L²/n²π² * sin(nπL / L)

- (-L/nπ * (-L) * cos(nπ(-L) / L) + L²/n²π² * sin(nπ(-L) / L))].

Simplificando, temos:

bn = (2/L) * [L/nπ * L * cos(nπ) + L/nπ * L * cos(-nπ)

+ L²/n²π² * sin(nπ) - L²/n²π² * sin(-nπ)].

Aqui, podemos observar que cos(-nπ) = cos(nπ) e sin(-nπ) = -sin(nπ), então ficamos com:

bn = (2/L) * [2 * L/nπ * L * cos(nπ) + 2 * L²/n²π² * sin(nπ)].

bn = (4/L) * [L/nπ * L * cos(nπ) + L²/n²π² * sin(nπ)].

Simplificando ainda mais, temos:

bn = (4/L) * [L²/n²π² * sin(nπ)].

Sabemos que sin(nπ) = 0 para n ímpar, então temos:

bn = (4/L) * [0] = 0.

Portanto, para a função ímpar f(x) = x, todos os termos bn são iguais a zero.

Concluímos, portanto, que a série de Fourier para a função ímpar f(x) = x é:

f(x) = ∑[n=1 até infinito] 0 = 0.