Le plan est rapporté à un repère orthonormé ( O , vec i , vec j )
On considère l'ensemble d'équation: x ^ 2 + y ^ 2 - 2x - 6y - 15 = 0
1) a/ Montrer que est un cercle dont on précisera le centrer / et le rayon R.
b/ Soient les points (-3; 0) et B(5; 6) . Montrer que [AB perp ] es un diamètre de C.
c/ Ecrire une équation de la tangente A à en A.
2) Soit A' la droite d'équation : 2x - y - 4 = 0 .
Montrer que 4' coupe en deux points dont on déterminera les coordonnées.
3) Soient les points C j, n ^ (1,-2) et E(0; - 4) .
a/ Vérifier que EEA et que le triangle ACE est rectangle en C.
b/ Déterminer le centre / et le rayon r du cercle 'passant par C et tangent à (AB) en A
On considère l'ensemble d'équation: x ^ 2 + y ^ 2 - 2x - 6y - 15 = 0
1) a/ Montrer que est un cercle dont on précisera le centrer / et le rayon R.
b/ Soient les points (-3; 0) et B(5; 6) . Montrer que [AB perp ] es un diamètre de C.
c/ Ecrire une équation de la tangente A à en A.
2) Soit A' la droite d'équation : 2x - y - 4 = 0 .
Montrer que 4' coupe en deux points dont on déterminera les coordonnées.
3) Soient les points C j, n ^ (1,-2) et E(0; - 4) .
a/ Vérifier que EEA et que le triangle ACE est rectangle en C.
b/ Déterminer le centre / et le rayon r du cercle 'passant par C et tangent à (AB) en A
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Réponse:
a/ Pour montrer que l'ensemble d'équation x^2 + y^2 - 2x - 6y - 15 = 0 est un cercle, il faut compléter le carré en x et en y. On obtient :
(x - 1)^2 + (y - 3)^2 = 25
Cette équation est de la forme (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2, qui est l'équation d'un cercle de centre (a, b) et de rayon r. Ainsi, le centre de ce cercle est (1, 3) et son rayon est 5.
b/ Les coordonnées de A sont obtenues en résolvant l'équation x^2 + y^2 - 2x - 6y - 15 = 0 avec x = -3 ou x = 5. On trouve que A(-3, 3) et A(5, -1).
Le vecteur AB a pour coordonnées (5 - (-3), 6 - 0) = (8, 6), donc son vecteur normal est (-6, 8).
La droite perpendiculaire à AB en A a donc pour équation -6(x - 5) + 8(y + 1) = 0, soit 6x - 8y - 38 = 0.
On peut vérifier que les points A et B appartiennent bien à cette droite. Ainsi, [AB perp ] est bien une droite passant par le point A et perpendiculaire à la droite AB. Comme elle est perpendiculaire à AB et passe par son milieu, elle est un diamètre du cercle.
c/ Pour écrire l'équation de la tangente à C en A, il faut d'abord calculer la pente de la tangente en A. Le vecteur gradient de l'équation du cercle en A est (2(Ax - 1), 2(Ay - 3)), donc la pente de la tangente en A est - (Ax - 1)/(Ay - 3).
Ainsi, l'équation de la tangente en A est de la forme y = mx + p, où m est la pente calculée et p est l'ordonnée à l'origine. En remplaçant x par -3 et y par 3 dans l'équation du cercle, on obtient 13 - 6Ax = 0, donc Ax = 13/6.
En remplaçant x par 5 et y par -1 dans l'équation du cercle, on obtient 21 - 10Ay = 0, donc Ay = 21/10.
Ainsi, la pente de la tangente en A est - (13/6 - 1)/(21/10 - 3) = -4/3. L'ordonnée à l'origine p est donnée par l'équation de la droite passant par A de pente -4/3 et passant par A, soit y - 3 = -4/3(x + 3), donc p = 17/3.
Ainsi, l'équation de la tangente en A est y = -4/3x + 17/3.
Soit A' la droite d'équation 2x - y - 4 = 0.