Exercice 4: Monsieur Jean possède un terrain qu'il souhaite partager en deux lots de même aire. Ce terrain a la forme d'un triangle ABC rectangle en A tel que : AB = 50 m et AC = 80 m.
1. a. Calculer l'aire du triangle ABC.
b. Exprimer AN en fonction de x.
c. Montrer que l'aire du triangle AMN égalex². 94,33 b. En déduire l'aire de chaque lot.
2. Monsieur Jean décide de partager son terrain en un lot triangulaire AMN et en un lot ayant la forme d'un trapèze BMNC, comme indiqué sur la figure ci-dessus, avec (MN) parallèle à (BC). On pose AM = x.
a. Pourquoi a-t-on : 0≤ x ≤ 50.
b. Quelle est l'aire du triangle AMN lorsque AM mesure 25 m ?
3. On note h la fonction qui, à un nombre x, associe l'aire du triangle AMN. Ci dessous, a été représentée graphiquement la fonction h pour x compris entre 0 et 50. En utilisant ce graphique, répondre aux questions suivantes (on laissera apparents les pointillés utiles):
b. Pour quelle valeur de x l'aire du triangle est-elle égale à 1600 m²?
c. Déterminer x, à un mètre près, pour que les aires des deux lots AMN et BMNC soient égales.
4. En utilisant la fonction h, retrouver par le calcul la réponse à la question 3. A
1. a. Calculer l'aire du triangle ABC.
b. Exprimer AN en fonction de x.
c. Montrer que l'aire du triangle AMN égalex². 94,33 b. En déduire l'aire de chaque lot.
2. Monsieur Jean décide de partager son terrain en un lot triangulaire AMN et en un lot ayant la forme d'un trapèze BMNC, comme indiqué sur la figure ci-dessus, avec (MN) parallèle à (BC). On pose AM = x.
a. Pourquoi a-t-on : 0≤ x ≤ 50.
b. Quelle est l'aire du triangle AMN lorsque AM mesure 25 m ?
3. On note h la fonction qui, à un nombre x, associe l'aire du triangle AMN. Ci dessous, a été représentée graphiquement la fonction h pour x compris entre 0 et 50. En utilisant ce graphique, répondre aux questions suivantes (on laissera apparents les pointillés utiles):
b. Pour quelle valeur de x l'aire du triangle est-elle égale à 1600 m²?
c. Déterminer x, à un mètre près, pour que les aires des deux lots AMN et BMNC soient égales.
4. En utilisant la fonction h, retrouver par le calcul la réponse à la question 3. A
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1)
a. Pour calculer l'aire du triangle ABC, on utilise la formule de l'aire d'un triangle rectangle : (base x hauteur) / 2. La base est AB = 50 m et la hauteur est AC = 80 m. Donc l'aire est (50 x 80) / 2 = 2000 m².
b. Pour exprimer AN en fonction de x, on utilise le théorème de Pythagore. On sait que AN² = AC² - AB² = 6400 - 2500 = 3900. On en déduit que AN = √(3900) = 63√(5) m.
c. Pour montrer que l'aire du triangle AMN égale x². 94,33, on utilise la formule de l'aire d'un triangle rectangle : (base x hauteur) / 2. La base est x et la hauteur est AN = 63√(5) m. Donc l'aire est (x x 63√(5)) / 2 = x².94,33 m².
d. En déduire l'aire de chaque lot, on utilise l'aire totale du terrain et les aires des triangles calculées précédemment. L'aire du lot triangulaire AMN est x².94,33 m² et l'aire du lot en forme de trapèze BMNC est 2000 - x².94,33 m².
2)
a. Pour que le terrain soit divisé en deux lots de même aire, il faut que la longueur de AM soit comprise entre 0 et 50 m, car si AM est nul, l'aire du triangle AMN est nulle et si AM est égale à AB, l'aire du triangle AMN est égale à l'aire totale du terrain, il n'y a plus de place pour le lot BMNC.
b. Lorsque AM mesure 25 m, on peut utiliser la formule de l'aire d'un triangle rectangle pour calculer l'aire du triangle AMN : (base x hauteur) / 2 = (25 x 63√(5)) / 2 = 806.25 m².
3)
b. Pour quelle valeur de x l'aire du triangle est-elle égale à 1600 m², on peut trouver en utilisant le graphique. Il semble que la valeur de x est environ 40 m.
c. Pour que les aires des deux lots soient égales, il faut que l'aire du triangle AMN soit égale à l'aire totale du terrain divisée par 2, soit 1000 m². On peut trouver cette valeur en utilisant le graphique, il semble que la valeur de x est environ 43 m.
4)
Pour retrouver par le calcul la réponse à la question 3, on peut utiliser la formule de l'aire d'un triangle rectangle (base x hauteur) / 2 = x².94,33 m² pour résoudre l'équation x².94,33 = 1000 pour trouver la valeur de x pour l'égalité des aires. On obtient x ≈ 43,08 m.