EXERCICE: on considère les points A(2,1), B(-3,6) et D(0,3)
1) determiner les vecteurs AB et AC
2) calculer les distances AB et AC
3) montrer que ABC est un triangle A rectangle isocelent
5) verifier que le point D est l'image du point E (-3,-2) par la translation qui transforme A en B
6) determiner les coordonnees du point I milieu de AD
1) determiner les vecteurs AB et AC
2) calculer les distances AB et AC
3) montrer que ABC est un triangle A rectangle isocelent
5) verifier que le point D est l'image du point E (-3,-2) par la translation qui transforme A en B
6) determiner les coordonnees du point I milieu de AD
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Réponse:
Les vecteurs AB et AC peuvent être obtenus en soustrayant les coordonnées du point de départ (A) des coordonnées du point d'arrivée (B ou C) :
Vecteur AB = B - A = (-3, 6) - (2, 1) = (-5, 5)
Vecteur AC = C - A = (0, 3) - (2, 1) = (-2, 2)
La distance entre deux points dans un plan cartésien se calcule en utilisant la formule de distance, qui est la racine carrée de la somme des carrés des différences entre les coordonnées des points. Ainsi :
Distance AB = √((-5)^2 + 5^2) = √50 ≈ 7,07 (arrondi à deux décimales)
Distance AC = √((-2)^2 + 2^2) = √8 ≈ 2,83 (arrondi à deux décimales)
Pour montrer que ABC est un triangle rectangle isocèle, nous devons démontrer deux choses : que l'un des angles du triangle est droit (90 degrés) et que les côtés adjacents à cet angle droit sont de même longueur.
Tout d'abord, pour montrer que l'un des angles est droit, nous pouvons vérifier si le produit scalaire des vecteurs AB et AC est nul. Si le produit scalaire est nul, alors les vecteurs sont orthogonaux et donc les côtés correspondants du triangle sont perpendiculaires et forment un angle droit. Calculons le produit scalaire :
AB . AC = (-5, 5) . (-2, 2) = (-5)(-2) + 5(2) = 10 + 10 = 20
Comme AB . AC ≠ 0, les vecteurs AB et AC ne sont pas orthogonaux, donc ABC n'est pas un triangle rectangle.
Il y a une erreur dans la numérotation des questions, car il manque la question 4. Passons donc directement à la question 5.
Pour vérifier si le point D est l'image du point E par la translation qui transforme A en B, nous devons ajouter le vecteur AB à A et voir si nous obtenons le point B, c'est-à-dire :
A + AB = (2, 1) + (-5, 5) = (-3, 6) = B
Comme A + AB = B, nous pouvons conclure que D est l'image de E par la translation qui transforme A en B.
Le point I est le milieu du segment AD, donc pour déterminer ses coordonnées, nous pouvons prendre la moyenne des coordonnées des points A et D :
Coordonnées de I = (Coordonnées de A + Coordonnées de D) / 2
= ((2, 1) + (0, 3)) / 2
= (2, 4) / 2
= (1, 2)
Donc les coordonnées du point I sont (1, 2).