Bonjour ;

Exercice n° 3 .

1)

Deux termes consécutifs de cette suite sont :

U(n) = 2 x n + 1 et U(n + 1) = 2 x (n + 1) + 1 = 2 x n + 3 ceci pour tout n nombre

entier naturel .

On a : U(n + 1) - U(n) = (2 x n + 3) - (2 x n + 1) = 2 ; donc la suite des nombres

impairs est une suite arithmétique de raison : r = 2 .

Le premier terme de cette suite est : U(1) = 2 x 0 + 1 = 1 .

Le nème terme de cette suite est :

U(n) = U(1) + (n - 1) x r = 1 + 2 x (n - 1) = 1 + 2 x n - 2 = 2 x n - 1 ;

en particulier le 1000ème terme de la suite est :

U(1000) = 2 x 1000 - 1 = 2000 - 1 = 1999 .

2)

1 + 3 + 5 + 7 + ........ + 1999

= (2 x 0 + 1) + (2 x 1 + 1) + (2 x 2 + 1) + (2 x 3 + 1) + .... + (2 x 999 + 1)

= 2 x (0 + 1 + 2 + 3 + .... + 999) + (1 + 1 + 1 + 1 + ... + 1 : on a mille fois 1)

= 2 x (999 x (999 + 1))/2 + 1000

= 2 x (999 x 1000)/2 + 1000

= 999000 + 1000

= 1000000 .

3)

La somme des n premiers nombres impairs est :

(n - 1 + 1) x (U(1) + U(n))/2 = n x (1 + 2 x (n - 1) + 1)/2

= n x (1 + 2 x n - 2 + 1)/2 = n x (2 x n)/2 = n x n = n² .