il est facile de montrer que a² /(a -1) >= 4 car (a - 2)² >= 0 donc a² -4a + 4 >= 0 a² > = 4( a-1) et comme a -1>0 a² /(a -1) > = 4 de même que b² /(b -1) > = 4 or a² /(b-1) = a² /(a-1) * (a-1)/(b-1) et b² /(a-1)= b²/(b-1)*(b-1)/(a-1) on en déduit que
a² /(b-1)>= 4 [ (a -1) / (b-1) ] de même que
b² /(a -1) >= 4 [ (b -1) / (a-1) ] en ajoutant les deux lignes [a² /(b -1) ] + [b² /(a -1) ] >= 4 [ (a -1) / (b-1) ] + 4 [ (b -1) / (a-1) ] >=4 [ (a -1) / (b-1) + (b -1) / (a-1) ] or si on pose (a -1) / (b-1) =x alors (b -1) / (a-1) = 1/x et on sait que x + 1/x >=2 d'où 4 [ (a -1) / (b-1) + (b -1) / (a-1) ] >= 8 par suite a² /(b -1) + b² /(b -1) >= 8
Lista de comentários
il est facile de montrer que a² /(a -1) >= 4
car (a - 2)² >= 0 donc a² -4a + 4 >= 0 a² > = 4( a-1)
et comme a -1>0 a² /(a -1) > = 4
de même que b² /(b -1) > = 4
or a² /(b-1) = a² /(a-1) * (a-1)/(b-1) et b² /(a-1)= b²/(b-1)*(b-1)/(a-1)
on en déduit que
a² /(b-1)>= 4 [ (a -1) / (b-1) ]
de même que
b² /(a -1) >= 4 [ (b -1) / (a-1) ]
en ajoutant les deux lignes
[a² /(b -1) ] + [b² /(a -1) ] >= 4 [ (a -1) / (b-1) ] + 4 [ (b -1) / (a-1) ]
>=4 [ (a -1) / (b-1) + (b -1) / (a-1) ]
or si on pose (a -1) / (b-1) =x alors (b -1) / (a-1) = 1/x
et on sait que x + 1/x >=2 d'où
4 [ (a -1) / (b-1) + (b -1) / (a-1) ] >= 8
par suite
a² /(b -1) + b² /(b -1) >= 8