1) en général   |x+y| ≤|x|  +  |y|   dans  l'exercice   si  x = a et y = b-9a²b

on arrive  à  |a+b-9a²b| ≤|a|  +  |b-9a²b| ≤  |a|  +   |b| * | 1 - 9a² |  

comme  |b| ≤1  on déduit que  |a+b-9a²b| ≤ |a|  +   | 1 - 9a² |   

 et  comme    |a| ≤  1/3   alors  a² ≤ 1/9  d'où 9a² ≤1   et    1-9a²   positif 

 ce qui entraine   |1-9a²| =  1-9a² 

 conclusion 

|a+b-9a²b|  ≤ 1+ |a|  - 9a²

2)soit   f(a)= 1 + |a|  - 9a²  =  1 +a -9a²   pour  a   positif   ou  1 -a - 9a²  pour  a   négatif 

 f'(a) = 1-18a  ou    - 1-18a      le maximum de cette fonction est donc atteint pour a= -1/18   et a= 1/18  

  or   f(1/18)= f(-1/18)=  37/36 

   comme  |a+b-9a²b|  ≤ f(a)    on peut  affirmer     que 

|a+b-9a²b|  ≤ 37/ 36 

d'où 

- 37/ 36  ≤  a +b - 9a²b ≤  37/36 

ceci est bien un encadrement d'amplitude    37/36 - (-37/36 )=  37/18