Réponse :

b) démontrer que:

vect(CE) = 1/2 vect (AB) + vect(DA)

d'après la relation de Chasles : vect(CE) = vect(CB) + vect(BE)

vect(CB) = vect(DA)  car ABCD est un parallélogramme

or vect(BE) = 1/2 vect(AB)

donc vect(CE) = 1/2 vect(AB) + vect(DA)

vect(EF) = 3/2 vect(BA) + 3 vect(AD)

vect(EF) = vect(EC) + vect(CF)  

vect(EC) = vect(EB) + vect(BC)   d'après la relation de Chasles

vect(BE) = 1/2 vect(AB) ⇒ vect (EB) = 1/2 vect(BA)

vect(BC) = vect(AD)  car ABCD est un parallélogramme

vect(EC) = 1/2 vect(BA) + vect(AD)  

⇒ vect(CF) = vect(CD) + vect(DF)

              = vect(BA) + 2 vect(AD)  

vect(EF) = 1/2 vect(BA) + vect(AD) + vect(BA) + 2 vect(AD)

              = 3/2 vect(BA) + 3 vect(AD)

en déduire que les points C,E et F sont alignés

vect(EF) et vect(EC) sont colinéaires s'il existe un réel k tel que

vect(EF) = k vect(EC)

3/2 vect(BA) + 3 AD = k x (1/2 vect(BA) + vect(AD))

k/2 = 3/2 ⇒ k = 3

k = 3

on retrouve le même k  donc les points C , E et F sont alignés  

Explications étape par étape