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1) On sait que la somme des deux angles aigus d'un triangle rectangle est égale à 90°.

Donc, 

Dans le triangle ABH rectangle en H, on a :

ABH = 90 - BAC

et dans le triangle ABC rectangle en B, on a :

BCH = 90 - BAC

Conclusion : ABH = BCH

2) Comme le triangle ABH est rectangle en H, on a :

Tan ABH = Angle opposé / Angle adjacent

Tan ABH = AH/BH

3) Comme le triangle CBH est rectangle en H, on a :

Tan BCH = BH/CH

4) Comme ABH = BCH, on a donc : 

Tan ABH = Tan BCH 

et :

AH/BH = BH/CH