Réponse :

2) montrer que ABCD n'est pas un parallélogramme

il suffit de montrer que les vecteurs AB et CD ne sont pas égaux

vect(AB)(1+1 ; - 1- 2) = (2 ; - 3)

vect(CD)(6-2 ; -2-4) = (4 ; - 6)

vect(AB) ≠ vect(CD) ⇒ ABCD n'est pas un parallélogramme

il s'agit d'un trapèze

3) soit I le milieu de (AC) et J le milieu de (BD)  démontrer que la droite (IJ) est parallèle à la droite (AB)

I milieu de (AC)   xi = 2-1)/2 = 1/2   et yi = 4+2)/2 = 6/2 = 3    ⇒ I(1/2 ; 3)

J milieu de (BD)   xj = 6+1)/2 = 7/2  et yj = - 2-1)/2 = - 3/2 ⇒    J(7/2 ; - 3/2)

vect(IJ) = (7/2 - 1/2 ; - 3/2 - 3) = (3 ; - 9/2)

vect(AB)= (2 ; - 3)

vect(AB) et vect(IJ) sont colinéaire  s'il existe un réel k tel que

vect(IJ) = k x vect(AB) ⇔ (3 ; - 9/2) = k x(2 ; - 3)

⇔ 3 = 2 k ⇒ k = 3/2

   - 9/2 = - 3 k ⇒ k = 9/6 = 3/2

puisque on retrouve un k identique ⇒ (AB) et (IJ) sont parallèles

4) soit E le milieu de (BC) et F le point tel que 2 x vect(AF) = vect(AD); montrer que les points I, J , E et F sont alignés

E milieu de (BC)   xe = 2+1)/2 = 3/2  et ye = 4-1)/2 = 3/2⇒ E(3/2 ; 3/2)

F milieu de (AD)   xf = 6-1)/2 = 5/2  et yf = - 2+2)/2 = 0  ⇒ F(5/2 ; 0)

vect(IJ) et vect(EF)  sont colinéaires s'il existe un réel k tel que

vect(IJ) = k x vect(EF)

vect(EF) (5/2 -3/2 ; 0 - 3/2) = (1 ; - 3/2)

vect(IJ)(3 ; - 9/2) = k x (1 ; - 3/2)

⇔ k = 3

⇔ - 9/2 = -3/2) k ⇒ k = 3

on trouve k = 3 identique ⇒ donc les points I, J , E et F sont alignés  

Explications étape par étape