Le mathématicien français Pierre de Fermat (1601-1665) a beaucoup étudié les propriétés des nombres premiers. Il pensait que tous les nombres de la forme Fn=2²n+1 (pour n entier naturelle) étaient premiers.
1.Justifier que F0,F1,F2,F3 sont effectivement des nombres premiers.
2.Démontrer que Fn+1-Fn est un multiple de 2²n.
1.Justifier que F0,F1,F2,F3 sont effectivement des nombres premiers.
2.Démontrer que Fn+1-Fn est un multiple de 2²n.
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Réponse :
Explications étape par étape :
■ écriture correcte : Fn = 2^(2^n) + 1
■ Fo = 2^1 + 1 = 2 + 1 = 3
F1 = 2^2 + 1 = 4 + 1 = 5
F2 = 2^4 + 1 = 16 + 1 = 17
F3 = 2^8 + 1 = 257 non divisible par 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13
--> 257 est bien premier !
F4 = 2^16 + 1 = 65536 + 1 = 65537
■ Fn+1 - Fn = 2^(2^(n+1)) + 1 - 2^(2^n) - 1
= 2^(2^(n+1)) - 2^(2^n)
= 2^(2^n * 2) - 2^(2^n)
= 2^(2^n)² - 2^(2^n)
= [ 2^(2^n) ] * [ 2^(2^n) - 1 ]
= Multiple de 2^(2^n) .
application pour n = 2 :
F3 - F2 = 257 - 17 = 240 = 16 * 15