Réponse :

Le plan est muni d'un repère orthonormé (O;i,j​). On considère les points suivants : A(2;1),B(−2;3),C(−1;−2) et D(−3;−1).

1. Les vecteurs ACet BD sont-ils colinéaires ? Justifier.

 vec(AC) = (- 3 ; - 3)

 vec(BD) = (- 1 ; - 4)

dét(vec(AC) ; vec(BD)) = xy' - x'y = - 3*(-4) - (-1)*(-3) = 9 ≠ 0

donc les vecteurs AC et BD ne sont pas colinéaires

2. Démontrer que le quadrilatère ABDC est un trapèze.

vec(AB) = (- 4 ; 2)

vec(CD) = (- 2 ;  1)

dét(vec(AB) ; vec(CD)) = xy' - x'y = - 4*(1) - (-2)*2 = - 4+4 = 0

les vecteurs AB et CD sont colinéaires donc on en déduit que

(AB) //(CD)  donc  ABDC est un trapèze

3. Soit E, le point de coordonnées (3;−4).

a. Démontrer que les coordonnées du milieu M de [AB] sont (0;2).

   M(x ; y)   milieu de (AB)  donc    x = (- 2+2)/2 = 0  et y = (3+1)/2 = 2

donc  M(0; 2)

b. Les points D,C et E sont-ils alignés ? Justifier.

 vec(DC) = (2 ; - 1)

  vec(DE) = (6 ; - 3)

 dét(vec(DC) ; vec(DE)) = xy' - x'y = 2*(-3) - 6*(-1) = - 6+6 = 0

Les vecteurs DC et DE sont colinéaires  ⇒ D ;  C et  E sont alignés

c. Soit F, le point défini par AF = 3​AC

. Calculer les coordonnées du point F.

soit  F(x ; y) / vec(AF) = 3vec(AC)

vec(AF) = (x - 2 ; y - 1)

vec(AC) = (- 3 ; - 3) ⇒ 3vec(AC) = (- 9 ; - 9)

x - 2 = - 9   ⇔ x = - 7   et y - 1 = - 9  ⇔  y = - 8

d. Les points M, F et E sont-ils alignés ? Justifier.

vec(MF) = (- 7 ; - 10)

vec(ME) = (3 ; - 6)

   - 7 - (-6) - 3*(-10) ≠ 0

les vecteurs ME et MF ne sont pas colinéaires  ⇒ M ; E et F NE SONT PAS ALIGNES

Explications étape pa* (-r étape :