Limite Duvidas

Eu sei que a resposta é , porém quero alguns entender como funciona, e gostaria que alguém revisasse essa minha conclusão.

Não podemos calcular a função em , se não teríamos  e cairiamos em  Logo pegamos o  e transformamos em  para cairmos em uma função que possamos resolver. E obteremos a resposta . Porém fiz os gráficos da função e da função (anexadas). E notei que só alcança  no gráfico da o mesmo não funciona para onde y alcança quando  alcança . 

Gostaria de entender qual a relação existente entre a reta crescente formada pela  e o gráfico de  e por que adotamos como resposta o resultado de (x+7) quando na verdade o limite que desejamos calcular é o de  .
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