Resposta:

Olá!

1)

Num triângulo retângulo, os catetos formam base e altura. Pela área do triângulo:

[tex]A = \frac{base\ . \ altura}{2}[/tex]

Se os lados formam uma progressão aritmética, então os lados desse triângulo são:

x - r , x , x + r

Onde r é a razão dessa progressão e os lados acima são respectivamente o cateto menor, cateto maior e a hipotenusa.

Por Pitágoras:

(x + r)² = x² + (x - r)²

x² + 2xr + r² = x² + x² - 2xr + r²

x² + x² - 2xr + r² = x² + 2xr + r²

2x² - x²  + r² - r² = 2xr + 2xr

x² = 4xr

x = 4r

Determinando os catetos em função de r:

x - r = 4r - r = 3r

x = 4r

Foi dada área do triângulo A = 150 m²: Então podemos determinar a razão:

[tex]150 = \frac{3r\ . \ 4r}{2}[/tex]

[tex]12r^2 = 2(150)[/tex]

[tex]12r^2 = 300[/tex]

[tex]r^2=\frac{300}{12}[/tex]

[tex]r^2 =25[/tex]

[tex]r=5[/tex]

Obtida a razão, encontramos x:

x = 4r

x = 20 m

E a hipotenusa mede:

x + r =

= 20 + 5

= 25 metros

2)

2x + 4 , 3x + 2 e 5x - 5 estão em sequência e formam uma p.a.

Então:

r = 5x - 5 - (3x + 2)  <=> r = 2x - 3

r = 3x + 2 - (2x + 4)  <=> r = x - 2

Determinando x:

2x - 3 = x - 2

2x - x = 3 - 2

x = 1

Determinando a razão r:

r = 1 - 2

r = -1

Ou seja é uma p.a. decrescente de razão 1 e os termos informados pela tarefa são:

A5 = 2x + 4 = 2(1) + 4 = 6

A6 = 5

A7 = 4

Pelo termo geral da p.a.:

An = A1 + (n - 1) . r

Para determinar o 1o. termo que é A1:

A5 = 6 , n = 5 , r = -1

6 = A1 + (5 - 1) . (-1)

6 = A1 + 4 . (-1)

6 = A1 - 4

A1 = 6 + 4

A1 = 10

E o 30o. termo será:

A30 = 10 + (30 - 1) . (-1)

A30 = 10 + (29) . (-1)

A30 = 10 - 29

A30 = -19