Bonjour, Je dois dire que J'arrive pas trop à trouver les étapes pour y arriver... j'ai juste remar.... Pergunta de ideia deAlex83270

April 2019 1 16 Report

Bonjour,
Je dois dire que $17|5^{2n}-2^{3n}$

J'arrive pas trop à trouver les étapes pour y arriver... j'ai juste remarquer que :
$5^{2} = 25 \\ 2^{3} = 8 \\ 5^{2} - 2^{3} = 25 - 8 = 17$

Mais ça c'est quand n=1

Du coup je ne sais pas si j'ai le droit de dire que :
$5^{2n} = 25^{n} \\ 2^{3n} = 8^{n} \\ 5^{2n} - 2^{3n} = 25^{n} - 8^{n} = 17^{n}$

Mais je sens que c'est une énorme bêtise !

Après j'ai voulu vérifié en prenant n=2 tout simplement mais ça fait :
$5^{2*2}=5 ^{4}=625=25 ^{2} \\ 2 ^{3*2}= 2^{6}=64=8 ^{2} \\ 17 ^{2}=289$
$625 - 64 = 561 \neq 289=17 ^{2}$
$561=17.33$

Bizarre bizarre ! :p Je ne vois vraiment pas comment faire :/

Merci d'avance !

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laurance Par récurrence par exemple

tu as déjà fait l'initialisation avec n = 1

maintenant l'hérédité
supposons que   17 divise $5^{2n} - 2^{3n}$
autrement dit que
$5^{2n} - 2^{3n} = 17 k$
alors
$5^{2n} = 17 k + 2^{3n}$
d'où   $5^{2} 5^{2n} = 25*17k + 25* 2^{3n}$
et   $5^{2} 5^{2n} - 2^{3(n+1)} = 25*17k + 25 * 2^{3n} - 2^{3n} * 2^{3}$
$5^{2(n+1)} - 2^{3(n+1)} = 25*17k + 25* 2^{3n} - 8* 2^{3n}$
en conclusion
$5^{2(n+1)} - 2^{3(n+1)} = 25*17k + 17* 2^{3n}$
ce qui prouve que
17 divise $5^{2(n+1)} - 2^{3(n+1)}$

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