Resposta:

Claro, posso te ajudar com essa questão! Vamos lá.

Para mostrar que a função y = Acos(ωx + ∝) satisfaz a equação y'' + ω²y = 0, precisamos encontrar as derivadas de y e substituí-las na equação. Vamos começar:

A primeira derivada de y em relação a x é: y' = -Aωsen(ωx + ∝).

A segunda derivada de y em relação a x é: y'' = -Aω²cos(ωx + ∝).

Agora, vamos substituir as derivadas na equação:

y'' + ω²y = -Aω²cos(ωx + ∝) + ω²Acos(ωx + ∝).

Podemos observar que o termo -Aω²cos(ωx + ∝) e o termo ω²Acos(ωx + ∝) se cancelam, resultando em zero. Portanto, a função y = Acos(ωx + ∝) satisfaz a equação y'' + ω²y = 0.

Espero que isso tenha ajudado! Se tiver mais alguma dúvida, é só me falar.

Satisfaz

Explicação

Na equação necessitamos o termo y'' . Isso significa a segunda derivada da função y.

Para encontrar a segunda derivada temos antes de fazer a primeira derivada em relação a x.

[tex]y = Acos(ωx + ∝)[/tex]

[tex]y' = (Acos(ωx + ∝))'[/tex]

[tex] \small{y' = A.( - sen(ωx+ ∝)).((ωx + ∝))'}[/tex]

[tex] \small{y' = - Asen(ωx+ ∝).(ω)}[/tex]

[tex] \small{y' = - A ω sen(ωx+ ∝)}[/tex]

Deriva novamente:

[tex] \small{y'' = ( - A ω sen(ωx+ ∝)) ' }[/tex]

[tex] \small{y'' = - A ω cos(ωx+ ∝).(ωx+ ∝)'}[/tex]

[tex] \small{y'' = - A ω^{2} cos(ωx+ ∝)}[/tex]

Temos a função y'' que precisávamos.

Portanto na equação: y'' + ω²y = 0 devemos substituir os termos y'' = - Aω²cos(ωx + ∝),e o termo y =Acos(ωx + ∝).

Veja:

[tex] y'' + ω²y = 0[/tex]

[tex] \tiny{ ( - Aω²cos(ωx + ∝)) + ω².( Acos(ωx + ∝) )= 0}[/tex]

[tex] \tiny{ - Aω²cos(ωx + ∝) + A ω² cos(ωx + ∝) )= 0}[/tex]

Perceba que são dois números, um oposto do outro que se somam. A soma de opostos resulta sempre em zero.

[tex]0 = 0[/tex]

E da fato, o que há antes da igualdade é igual ao que há depois da igualdade. Zero de fato é igual a zero. IGUALDADE SATISFEITA.

Isso significa que sim, a função y = Acos(ωx + ∝) satisfaz a igualdade y'' + ω²y = 0