Na minha casa, há um relógio na cozinha e outro no quarto, ambos com defeito. O relógio da cozinha atrasa dois minutos por hora, enquanto o relógio do quarto adianta um minuto por hora. Cansado de me atrapalhar com os horários, ontem decidi acertar os dois relógios ao mesmo tempo, com o horário correto. Entretanto, hoje olhei para os relógios e vi que um deles marcava 09h 00min e o outro 10h 00min.
A que horas eu acertei os dois relógios ontem?
A.17h 40min
B.12h
C.09h 20min
D.21h
E.13h 40min
Observe a seguinte sequência lógica:
085, 115, 092, 123, 099, 131, 106, 139, 113, ...
Identificando o padrão de formação dessa sequência, podemos afirmar que o número de elementos dessa sequência maiores que 1000 e menores que 1500 é:
A.135
B.201
C.112
D.50
E.89
A que horas eu acertei os dois relógios ontem?
A.17h 40min
B.12h
C.09h 20min
D.21h
E.13h 40min
Observe a seguinte sequência lógica:
085, 115, 092, 123, 099, 131, 106, 139, 113, ...
Identificando o padrão de formação dessa sequência, podemos afirmar que o número de elementos dessa sequência maiores que 1000 e menores que 1500 é:
A.135
B.201
C.112
D.50
E.89
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Lista de comentários
Após realizar as devidas análises, podemos concluir que:
a) O horário na qual os relógios foram acertados é 13:40, conforme a alternativa E.
b) O número de elementos dessa sequência maiores que 1000 e menores que 1500 é igual a 135, conforme a alternativa A.
Questão dos relógios
Primeiramente, vamos entender como o horário em cada relógio progride (ou retrocede).
No relógio atrasado, o horário atual é igual a 09:00. Uma hora antes este relógio marcava 08:02.
Perceba que isso forma uma relação: quando as horas diminuem em 1 unidade, os minutos aumentam em 2 unidades (08:02, 07:04, 06:06, 05:08...).
No relógio adiantado, o horário atual é igual a 10:00 e uma hora antes ele marcava 08:59.
Aqui também há uma ordem: quando as horas diminuem em 1 unidade, os minutos também diminuem em 1 unidade (08:59, 07:58, 06:57, 05:56...).
Chamando as horas retrocedidas de "x" e o minuto na qual eles foram ajustados de "y", podemos estabelecer relações em ambos os relógios.
A partir das 08:02, a cada hora que retrocedemos, os minutos aumentam em 2 unidades. Logo:
[tex]2 + 2x = y[/tex]
A partir das 08:59, a cada hora que retrocedemos, os minutos diminuem em 1 unidade. Logo:
[tex]59 - x = y[/tex]
Perceba que formamos um sistema de equações. Podemos resolvê-lo utilizando o método da comparação.
[tex]\left \{ {{2 + 2x = y} \atop {59 - x = y}} \right. \\\\2 + 2x = 59 - x\\\\x = \dfrac{57}{3}\\\\x = 19[/tex]
Lembre-se que "x" representa as horas retrocedidas, na qual determinamos que é igual a 19.
Portanto devemos retroceder 19 horas a partir das 08 horas para encontrarmos a hora na qual os relógios foram ajustados.
[tex]8h - 19 = -11h[/tex]
O dia tem 24 horas, logo:
[tex]24h - 11h = 13h[/tex]
Encontramos que a hora na qual o relógio foi ajustado é igual a 13h. Relembre que, nas relações formadas anteriormente, "y" representa os minutos na qual os relógios foram ajustados.
Substituindo x por 19 em uma das equações, teremos que:
[tex]2 + 2x = y\\2 + 2 . 19 = y\\2 + 38 = y\\y = 40[/tex]
Ou seja: os relógios foram ajustados as 13:40, conforme a alternativa E.
Questão da sequência lógica
A diferença entre dois termos cuja posição é impar (1ª, 3ª, 5ª) é constante e igual a 7.
[tex]92 - 85 = 7\\99 - 92 = 7\\106 - 99 = 7[/tex]
Da mesma forma, os termos de posição par (2º, 4º, 6º...) possuem razão constante e igual a 8.
[tex]123 - 115 = 8\\131 - 123 = 8\\139 - 131 = 8[/tex]
Com isso, podemos decompor a sequência principal em duas outras sequências:
[tex]A: (85, 92, 99, 106, 113...)\\B: (115, 123, 131, 139...)[/tex]
Ambas as sequências são progressões aritméticas de razões 7 e 8.
É possível formar a lei de formação das sequências em função da posição n.
Na sequência A, temos:
Vamos obter quantos números maiores que 1000 e menores que 1500 há na sequência A.
Aplicando o 1000 na fórmula,
[tex]85 + 7n = x\\85 + 7n = 1000\\7n = 915\\\\n = \dfrac{915}{7}\\\\n = 130~com~resto~5[/tex]
Como o resto é igual a 5, temos que o número 1000 - 5 = 995 está na sequência.
Determinando sua posição:
[tex]85 + 7n = x\\85 + 7n = 995\\7n = 917\\n = 130[/tex]
Devemos encontrar o último termo da sequência A que é maior que 1000 e menor que 1500.
Utilizaremos a mesma lógica, porém desta vez será utilizado o número 1500.
[tex]85 + 7n = x\\85 + 7n = 1500\\7n = 1415\\\\n = \dfrac{1415}{7}\\\\n = 202~com~resto~1[/tex]
O número 1500 - 1 = 1499 está na sequência.
Determinando em qual posição ele está:
[tex]85 + 7n = x\\85 + 7n = 1499}$}\\7n = 1414\\n = 202[/tex]
O número de termos maiores que 1000 e menores que 1500 na sequência A será a diferença entre as posições do último e do primeiro termo:
[tex]202 - 130 = 72[/tex]
Há 72 elementos maiores que 1000 e menores que 1500 na sequência A.
Na sequência B, temos:
Utilizaremos a mesma lógica para determinar as posições do primeiro e último termo.
Determinando o primeiro termo:
[tex]115 + 8n = x\\115 + 8n = 1000\\8n = 885\\n = 110~com~resto~5[/tex]
O número 1000 - 5 = 995 está na sequência.
Determinando sua posição:
[tex]115 + 8n = x\\115 + 8n = 995\\8n = 880\\n = 110[/tex]
Determinando o último termo:
[tex]115 + 8n = x\\115 + 8n = 1500\\8n = 1385\\n = 173~com~resto~1[/tex]
O número 1500 - 1 = 1499 está na sequência.
Determinando sua posição:
[tex]115 + 8n = x\\8n = 1384\\n = 173[/tex]
O número de termos maiores que 1000 e menores que 1500 na sequência B será dado por:
[tex]173 - 110 = 63[/tex]
Há 63 números maiores que 1000 em menores que 1500 na sequência B.
Finalmente, o número total de elementos maiores que 1000 e menores que 1500 na sequência dada pelo exercício será a soma dos números que se enquadram em tal condição nas sequências A e B:
[tex]72 + 63 =135[/tex]
Há 135 elementos maiores que 1000 e menores que 1500, conforme a alternativa A.
⭐ Espero ter ajudado! ⭐
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Resposta: 1 questão: E. 13h 40min
2 questão: A. 135
Explicação: