Nas diversas área do saber, sempre há interesse em saber como certas grandezas se relacionam entre si. Podemos estar interessados em saber, por exemplo, como a quantidade de acessos a um site na Internet se relaciona com o tempo, ou o tipo de correspondência entre quantidades como: tempo de estudo destinado a um tipo de linguagem de programação e o aprendizado dessa linguagem. De fato, relações ocorrem em todos os ramos do conhecimento humano. Sabe-se que algumas relações são denominadas de funções e o conceito de função é uma das ideias centrais de todos os ramos ligados à Matemática. Considere que f: Z->Z seja uma função do tipo f(x) = ax + b, com a, b E Z, tal que f(2) = 0 e f(-3) = 5. Com base nessas informações, resolva os itens que seguem: a) escreva a equação que define f b) faça um esboço do gráfico de f. c) prove que para todo x E Z, f(4x) é divisível por 2. d) prove que f é injetora e sobrejetora e) determine (f o f)(x). f) determine a inversa de f.
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Lista de comentários
a)A equação que define a função é f(x) = -x + 2
b)O gráfico da função é uma reta com inclinação -1 e intercepto 2
c)Para todo x inteiro, f(4x) é divisivel por 2
d)A função é injetora e sobrejetora
e)A composição da função consigo mesma é a identidade
f)A função inversa de f é y= -x + 2
Função
a)A partir das informações dadas, temos que:
Subtraindo as duas equações, obtemos:
5a = -5
Portanto, a = -1. Substituindo esse valor em uma das equações, obtemos:
-2 + b = 0
Portanto, b = 2.
Assim, a equação que define f é:
f(x) = -x + 2
b)Gráfico em anexo
c)Para todo x ∈ Z, f(4x) = 4x - 2. Como 4x é sempre um número par, então f(4x) é divisivel por 2.
d) Uma função é injetora se para cada y no conjunto imagem existe exatamente um x no domínio tal que f(x) = y. Como a função é linear e seu coeficiente angular (a) não é zero, ela é injetora.
Uma função é sobrejetora se para todo y no conjunto imagem existe pelo menos um x no domínio tal que f(x) = y. Como a função é linear e seu coeficiente angular (a) não é zero, ela também é sobrejetora.
e)A composição da função consigo mesma (f o f)(x) significa que aplicamos a função duas vezes. Então temos (f o f)(x) = f(f(x)) = f(-x + 2). Substituindo f(x) na equação novamente, obtemos (-(-x + 2) + 2) = x.
f) A função inversa de uma função f é a função que “desfaz” as operações de f. Como nossa função original é f(x) = -x + 2, sua inversa será a solução para a equação y = -x + 2 em termos de x. Resolvendo para x, obtemos x = -y + 2. Portanto, a inversa de f é f^-1(y) = -x + 2.
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