Olá, estudante!
Por muitos anos, a palavra Álgebra foi utilizada para denominar o segmento da matemática que examinava as operações entre números e a busca por soluções de equações. Conforme a matemática foi se desenvolvendo, a álgebra caminhou junto, se tornando um campo de pesquisa muito mais amplo a partir dos conceitos das Estruturas Algébricas. As operações antes realizadas com números puderam ser generalizadas, tornando assim essas definições e estudos muito mais abrangentes.
Nessa atividade MAPA, trabalharemos com a estrutura algébrica Grupo, e iremos propor que você aplique os conceitos de Subgrupos e Isomorfismos de Grupos. Dessa forma, você deve responder às seguintes questões:
a) Considere o conjunto . Mostre que G é um subgrupo de que é o grupo dos números reais excuindo o zero, munido da operação usual de multiplicação.
b) Considere o conjunto . Mostre que J é um subgrupo de que é o grupo dos números complexos, munido da operação usual de soma.
c) Como G e J são subgrupos dos grupos citados, em particular dados, G e J também são grupos com as operações que herdam de , respectivamente. Sendo assim, mostre que são grupos isomorfos e para isso, considere a função dada por: e siga os seguintes passos:
1. Mostre que é um homomorfismo de grupos.
2. Mostre que é injetora.
3. Mostre que é sobrejetora.
4. Conclua que é um isomorfismo de grupos.
Por muitos anos, a palavra Álgebra foi utilizada para denominar o segmento da matemática que examinava as operações entre números e a busca por soluções de equações. Conforme a matemática foi se desenvolvendo, a álgebra caminhou junto, se tornando um campo de pesquisa muito mais amplo a partir dos conceitos das Estruturas Algébricas. As operações antes realizadas com números puderam ser generalizadas, tornando assim essas definições e estudos muito mais abrangentes.
Nessa atividade MAPA, trabalharemos com a estrutura algébrica Grupo, e iremos propor que você aplique os conceitos de Subgrupos e Isomorfismos de Grupos. Dessa forma, você deve responder às seguintes questões:
a) Considere o conjunto . Mostre que G é um subgrupo de que é o grupo dos números reais excuindo o zero, munido da operação usual de multiplicação.
b) Considere o conjunto . Mostre que J é um subgrupo de que é o grupo dos números complexos, munido da operação usual de soma.
c) Como G e J são subgrupos dos grupos citados, em particular dados, G e J também são grupos com as operações que herdam de , respectivamente. Sendo assim, mostre que são grupos isomorfos e para isso, considere a função dada por: e siga os seguintes passos:
1. Mostre que é um homomorfismo de grupos.
2. Mostre que é injetora.
3. Mostre que é sobrejetora.
4. Conclua que é um isomorfismo de grupos.
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Lista de comentários
a)O conjunto G é um subgrupo do grupo [tex]$(\mathbb{R}^*, \cdot)$[/tex]
b)O conjunto J é um subgrupo do grupo [tex]$(\mathbb{C}, +)$[/tex]
c)Os grupos [tex]$(G, \cdot)$[/tex] e [tex]$(J, +)$[/tex] são isomorfos através da função [tex]$\phi(m+in) = 2^m \cdot 3^n$[/tex]
Estruturas algébricas
a)Para mostrar que o conjunto G é um subgrupo do grupo [tex]\((\mathbb{R}^*, \cdot)\)[/tex], que é o grupo dos números reais excluindo o zero com a operação de multiplicação, precisamos verificar que G satisfaz as propriedades de um subgrupo. Um subgrupo é um subconjunto de um grupo que forma um grupo por si só. As propriedades que devem ser verificadas são:
Vamos verificar essas propriedades para o conjunto G:
1. O conjunto G é formado por todos os números reais da forma [tex]\(2^m \cdot 3^n\)[/tex], onde m e n são números inteiros. Como [tex]\(2^0 = 1\)[/tex] e [tex]\(3^0 = 1\)[/tex], o elemento neutro da multiplicação, que é 1, está em G. Portanto, G não está vazio.
2. Para quaisquer dois elementos [tex]\(a = 2^m \cdot 3^n\)[/tex] e [tex]\(b = 2^p \cdot 3^q\)[/tex] em G, o produto [tex]\(a \cdot b\)[/tex] é dado por:
[tex]\(a \cdot b = (2^m \cdot 3^n) \cdot (2^p \cdot 3^q) = 2^{m + p} \cdot 3^{n + q}\)[/tex]
Como a soma de dois números inteiros é um número inteiro, m + p e n + q são números inteiros. Portanto, [tex]\(2^{m + p} \cdot 3^{n + q}\)[/tex] está em G.
3. Agora, para verificar a existência do inverso, considere um elemento [tex]\(a = 2^m \cdot 3^n\)[/tex] em G. O inverso de a em [tex]\((\mathbb{R}^*, \cdot)\)[/tex] é [tex]\(\frac{1}{a}\)[/tex], e neste caso, é igual a [tex]\(2^{-m} \cdot 3^{-n}\)[/tex]. Como m e n são inteiros, -m e -n também são inteiros, e portanto, [tex]\(2^{-m} \cdot 3^{-n}\)[/tex] está em G.
Portanto, o conjunto G satisfaz todas as propriedades de um subgrupo, o que significa que G é de fato um subgrupo do grupo [tex]\((\mathbb{R}^*, \cdot)\)[/tex].
b)Podemos notar que J é igual ao conjunto dos números complexos da forma m + in, onde m e n são inteiros. Portanto, J é um subconjunto de [tex]$\left(\mathbb{C},+\right)$[/tex].
Além disso, J é fechado sob a operação de soma, pois para todo [tex]$m_1 + in_1, m_2 + in_2 \in J$[/tex], temos que:
[tex]$$(m_1 + in_1) + (m_2 + in_2) = (m_1 + m_2) + (i(n_1 + n_2)) \in J$$[/tex]
Portanto, J é um subgrupo de [tex]$\left(\mathbb{C},+\right)$[/tex].
c)Para mostrar que os grupos [tex]$(G, \cdot)$[/tex] e [tex]$(J, +)$[/tex]são isomorfos através da função [tex]$\phi(m+in) = 2^m \cdot 3^n$[/tex], precisamos seguir os seguintes passos:
Saiba mais sobre Estruturas algébricas:https://brainly.com.br/tarefa/23024400
#SPJ1
a) Considere o conjunto . Mostre que G é um subgrupo de que é o grupo dos números reais excluindo o zero, munido da operação usual de multiplicação.
Verificar se G satisfaz as propriedades de um subgrupo:
- O subconjunto não está vazio;
- Para quaisquer dois elementos a,b ∈G, o produto também está em G.
- Para cada elemento a em G, o inverso de b (b^(-1)) está em G.
- Então, atende o teorema:
∀ a,b ∈G ⟹a.b^(-1)∈G
Verificar as propriedades de um subgrupo para o conjunto G:
- O conjunto G é formado por todos os números reais da forma 2^m 〖.3〗^n
Em que m e n são números inteiros.
Como 2^0=1 e 3^0=1, e o elemento neutro da multiplicação, que é 1, está em G.
Logo, G não está vazio.
- Pelo teorema:
Sendo 〖a=2〗^m 〖.3〗^n e 〖b=2〗^p 〖.3〗^q
O produto a.b é dado por:
a.b=(2^m 〖.3〗^n ).(2^p 〖.3〗^q )=〖b=2〗^(m+p) 〖.3〗^(n+q)
Como a soma de dois números inteiros é um número inteiro, m+p e n+q são números inteiros. Logo, 2^(m+p) 〖.3〗^(n+q)está em G.
- Verificar a existência do inverso:
Sendo 〖a=2〗^m 〖.3〗^n
O inverso de a em 〖(R〗^*,.) é 1⁄a , neste caso, é igual a 2^(-m) 〖.3〗^(-n). Como m e n são inteiros, -m e -n também são inteiros, portanto, 2^(-m) 〖.3〗^(-n) está em G.
Portanto, o conjunto G satisfaz todas as propriedades de um subgrupo, o que significa que G é subgrupo de 〖(R〗^*,.).
b) Considere o conjunto . Mostre que J é um subgrupo de que é o grupo dos números complexos, munido da operação usual de soma.
Podemos notar que J é igual ao conjunto dos números complexos da forma m+in , onde m e n são inteiros. Portanto, J é um subconjunto de (C,+).
Além disso, J é fechado sob a operação de soma, pois para todo m_1+in_1,m_2+in_2∈J, temos que: (m_1+in_1 )+(m_2+in_2 )=〖(m〗_1+m_2)+[i(n_1+n_2)∈J
Portanto, J é subgrupo de (C,+).
c) Como G e J são subgrupos dos grupos citados, em particular dados, G e J também são grupos com as operações que herdam de , respectivamente. Sendo assim, mostre que são grupos isomorfos e para isso, considere a função dada por: e siga os seguintes passos:
1. Mostre que é um homomorfismo de grupos.
2. Mostre que é injetora.
3. Mostre que é sobrejetora.
4. Conclua que é um isomorfismo de grupos.
Para mostrar que os grupos (G,.)e (J,+) são isomorfos por meio da função ∅(m+in)=(2^m 〖.3〗^n ), é necessário verificar:
Homomorfismo de grupos:
Para mostrar que ∅ é um homomorfismo de grupos, precisamos verificar se, para todos os elementos a e b em J, temos:
∅(a+b)=∅(a).∅(b)
Considerando a=m_1+in_1e b=m_2+in_2
Então: 〖a+b=(m〗_1+m_2)+[i(n_1+n_2) e ∅(a+b)=2^(m_1+m_2 ) 〖.3〗^(n_1+n_2 )
Então, ∅(a).∅(b)=2^(m_1+m_2 ) 〖.3〗^(n_1+n_2 )
Portanto ∅(a+b)=∅(a).∅(b) e ∅ é um homomorfismo de grupos.
Injetividade:
Para mostrar que ∅ é injetora, precisamos verificar se, para todos os elementos a e b em J, se ∅(a)=∅(b), então a=b.
Seja: a=m_1+in_1e b=m_2+in_2, se temos ∅(a)=∅(b), então 2^(m_1 ) 〖.3〗^(n_1 )=2^(m_2 ) 〖.3〗^(n_2 ). Com as bases são diferentes (2≠3) e m_1,m_2,n_1,n_2 são inteiros, isso implica que
m_1=m_2 e n_1=n_2. Logo, a=b, que mostra que ∅ é injetora.
Sobrejetividade:
Para mostrar que ∅ é sobrejetora, precisamos verificar se, para todo o elemento g em G existe um elemento j em J tal que ∅(j)=g.
Como G é o conjunto de todos os números da forma 2^m 〖.3〗^n com m e n inteiros, e J é o conjunto de todos os números da forma m+in com m e n inteiros, para qualquer g em G, podemos escolher j em J tal que j=m+in, em que m e n são os expoentes de 2 e 3 em g, respectivamente.
Logo, ∅(j)=g que mostra que ∅ é sobrejetora.
Isomorfismo de grupos:
Como mostramos que ∅ é um homomorfismo de grupos injetor e sobrejetor, podemos concluir que ∅ é um isomorfismo de grupos.