Uma determinada cidade do litoral brasileiro fez um estudo comparativo entre projeção de receitas obtidas com turismo e investimentos necessários em infraestrutura da cidade nos próximos 30 anos. Os resultados do estudo foram modelados pelas seguintes funções matemáticas:
R(t) = - 0,4 t2 + 11,2 t + 109,2
I(t) = 7t +36
em que as variáveis R, I e t representam, respectivamente, a receita, o investimento (ambos em milhões de reais) e o tempo (em anos); e t = 0 significa o início de 2020, t = 1, o início de 2021, e assim sucessivamente.
Com base nessas informações, resolva os itens a seguir:
A) Qual o valor do investimento no início do ano de 2031? Apresente os cálculos realizados.
B) Em qual momento, caso exista, o estudo em questão revela que o valor investido em infraestrutura será igual à receita obtida com turismo? Apresente suas conclusões.
C) De acordo com esse estudo, quando a projeção de receitas com turismo será máxima? E qual esse valor?
R(t) = - 0,4 t2 + 11,2 t + 109,2
I(t) = 7t +36
em que as variáveis R, I e t representam, respectivamente, a receita, o investimento (ambos em milhões de reais) e o tempo (em anos); e t = 0 significa o início de 2020, t = 1, o início de 2021, e assim sucessivamente.
Com base nessas informações, resolva os itens a seguir:
A) Qual o valor do investimento no início do ano de 2031? Apresente os cálculos realizados.
B) Em qual momento, caso exista, o estudo em questão revela que o valor investido em infraestrutura será igual à receita obtida com turismo? Apresente suas conclusões.
C) De acordo com esse estudo, quando a projeção de receitas com turismo será máxima? E qual esse valor?
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Resposta:
Vamos resolver cada parte do problema!
Explicação passo a passo:
A) Para encontrar o valor do investimento no início do ano de 2031 (t = 11, pois t = 0 é o início de 2020), você pode simplesmente substituir t na função I(t) e calcular:
I(11) = 7 * 11 + 36
I(11) = 77 + 36
I(11) = 113 milhões de reais
Portanto, o valor do investimento no início do ano de 2031 é de 113 milhões de reais.
B) Para encontrar o momento em que o valor investido em infraestrutura será igual à receita obtida com turismo, você precisa igualar as duas funções R(t) e I(t) e resolver para t:
-0,4t^2 + 11,2t + 109,2 = 7t + 36
Primeiro, mova todos os termos para o lado esquerdo da equação:
-0,4t^2 + 11,2t - 7t - 109,2 + 36 = 0
Agrupe os termos semelhantes:
-0,4t^2 + 3,2t - 73,2 = 0
Agora, você pode resolver a equação quadrática. Vamos usar a fórmula quadrática:
t = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)
Onde a = -0,4, b = 3,2 e c = -73,2. Aplicando esses valores na fórmula:
t = (-3,2 ± √(3,2² - 4 * (-0,4) * (-73,2))) / (2 * (-0,4))
Calculando a raiz:
t = (-3,2 ± √(10,24 + 11,712)) / (-0,8)
t = (-3,2 ± √21,952) / (-0,8)
A raiz quadrada de 21,952 é aproximadamente 4,682.
Agora, calcule as duas soluções para t:
t₁ = (-3,2 + 4,682) / (-0,8) ≈ 1,47 anos
t₂ = (-3,2 - 4,682) / (-0,8) ≈ -9,77 anos
Como o tempo não pode ser negativo no contexto do problema, consideramos apenas a primeira solução válida. Portanto, o momento em que o valor investido em infraestrutura será igual à receita obtida com turismo é de aproximadamente 1,47 anos após o início de 2020. Isso seria por volta de maio/junho de 2021.
C) Para encontrar o momento em que a projeção de receitas com turismo será máxima e qual será o valor máximo, você pode usar o vértice da parábola da função R(t). A fórmula do vértice de uma parábola quadrática é dada por:
t_vértice = -b / (2a)
Onde a é o coeficiente de t^2 e b é o coeficiente de t na função R(t). Nesse caso:
a = -0,4
b = 11,2
t_vértice = -11,2 / (2 * (-0,4))
t_vértice = -11,2 / (-0,8)
t_vértice ≈ 14
A projeção de receitas com turismo será máxima aproximadamente 14 anos após o início de 2020. Para encontrar o valor máximo, basta substituir t_vértice na função R(t):
R(14) = -0,4 * 14^2 + 11,2 * 14 + 109,2
R(14) ≈ 168,8 milhões de reais
Portanto, a projeção de receitas com turismo será máxima de aproximadamente 168,8 milhões de reais, cerca de 14 anos após o início de 2020.
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