Resposta:

Vamos resolver cada parte do problema!

Explicação passo a passo:

A) Para encontrar o valor do investimento no início do ano de 2031 (t = 11, pois t = 0 é o início de 2020), você pode simplesmente substituir t na função I(t) e calcular:

I(11) = 7 * 11 + 36

I(11) = 77 + 36

I(11) = 113 milhões de reais

Portanto, o valor do investimento no início do ano de 2031 é de 113 milhões de reais.

B) Para encontrar o momento em que o valor investido em infraestrutura será igual à receita obtida com turismo, você precisa igualar as duas funções R(t) e I(t) e resolver para t:

-0,4t^2 + 11,2t + 109,2 = 7t + 36

Primeiro, mova todos os termos para o lado esquerdo da equação:

-0,4t^2 + 11,2t - 7t - 109,2 + 36 = 0

Agrupe os termos semelhantes:

-0,4t^2 + 3,2t - 73,2 = 0

Agora, você pode resolver a equação quadrática. Vamos usar a fórmula quadrática:

t = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)

Onde a = -0,4, b = 3,2 e c = -73,2. Aplicando esses valores na fórmula:

t = (-3,2 ± √(3,2² - 4 * (-0,4) * (-73,2))) / (2 * (-0,4))

Calculando a raiz:

t = (-3,2 ± √(10,24 + 11,712)) / (-0,8)

t = (-3,2 ± √21,952) / (-0,8)

A raiz quadrada de 21,952 é aproximadamente 4,682.

Agora, calcule as duas soluções para t:

t₁ = (-3,2 + 4,682) / (-0,8) ≈ 1,47 anos

t₂ = (-3,2 - 4,682) / (-0,8) ≈ -9,77 anos

Como o tempo não pode ser negativo no contexto do problema, consideramos apenas a primeira solução válida. Portanto, o momento em que o valor investido em infraestrutura será igual à receita obtida com turismo é de aproximadamente 1,47 anos após o início de 2020. Isso seria por volta de maio/junho de 2021.

C) Para encontrar o momento em que a projeção de receitas com turismo será máxima e qual será o valor máximo, você pode usar o vértice da parábola da função R(t). A fórmula do vértice de uma parábola quadrática é dada por:

t_vértice = -b / (2a)

Onde a é o coeficiente de t^2 e b é o coeficiente de t na função R(t). Nesse caso:

a = -0,4

b = 11,2

t_vértice = -11,2 / (2 * (-0,4))

t_vértice = -11,2 / (-0,8)

t_vértice ≈ 14

A projeção de receitas com turismo será máxima aproximadamente 14 anos após o início de 2020. Para encontrar o valor máximo, basta substituir t_vértice na função R(t):

R(14) = -0,4 * 14^2 + 11,2 * 14 + 109,2

R(14) ≈ 168,8 milhões de reais

Portanto, a projeção de receitas com turismo será máxima de aproximadamente 168,8 milhões de reais, cerca de 14 anos após o início de 2020.

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