O estudo de problemas envolvendo o cálculo de valores de máximos e mínimos locais ou globais de uma .... Pergunta de ideia depablopelinco

July 2023 2 42 Report

O estudo de problemas envolvendo o cálculo de valores de máximos e mínimos locais ou globais de uma função também é conhecido como estudo de problemas de otimização. Geralmente os problemas de otimização buscam responder perguntas como “qual quantidade de produto deve ser comercializada para obter o lucro máximo?” ou “qual deve ser a quantidade de material utilizada para minimizar os custos de produção de uma embalagem?”, entre outros.

Resolva o seguinte problema de otimização:

Dada uma placa de papelão quadrada de lado 10 m, deseja-se construir a partir desta placa uma caixa, sem tampa. Qual deve ser a altura aproximada da caixa de modo que ela apresente o maior volume possível? Assinale a alternativa correta:

williamcanellas

Para que o volume da caixa seja máximo, aplicando os conceitos de volume e derivada temos que a altura da caixa deverá ser 10/3 m.

Geometria Espacial - Volume

Para responder a esta questão vamos aplicar o volume de um paralelepípedo reto retângulo de dimensões a, b e c.

V = a . b . c

Como devemos construir a caixa a partir de uma placa de papelão de lado medindo 10 m podemos retirar de cada um dos cantos dessa placa um quadrado de lado x que será a altura da caixa, logo teremos uma caixa, com a planificação conforme a figura abaixo, de dimensões 10 - x, 10 - x e x cujo volume será dado por:

V = (10 - x) . (10 - x) . x

V = x³ - 20x² + 100x

Para obtermos os máximos e mínimos devemos igualar a derivada primeira da função a zero.

V' = 3x² - 40x + 100 = 0

Δ = b² - 4ac

Δ = 1600 - 1200

Δ = 400

x = (- b ± √Δ) / 2a

x = (40 ± 20) / 6

x' = 10 e x'' = 10/3

Pelo teste da derivada segunda temos:

V'' = 6x - 40