O estudo de problemas envolvendo o cálculo de valores de máximos e mínimos locais ou globais de uma função também é conhecido como estudo de problemas de otimização. Geralmente os problemas de otimização buscam responder perguntas como “qual quantidade de produto deve ser comercializada para obter o lucro máximo?” ou “qual deve ser a quantidade de material utilizada para minimizar os custos de produção de uma embalagem?”, entre outros.
Resolva o seguinte problema de otimização:
Dada uma placa de papelão quadrada de lado 10 m, deseja-se construir a partir desta placa uma caixa, sem tampa. Qual deve ser a altura aproximada da caixa de modo que ela apresente o maior volume possível? Assinale a alternativa correta:
Para que o volume da caixa seja máximo, aplicando os conceitos de volume e derivada temos que a altura da caixa deverá ser 10/3 m.
Geometria Espacial - Volume
Para responder a esta questão vamos aplicar o volume de um paralelepípedo reto retângulo de dimensões a, b e c.
V = a . b . c
Como devemos construir a caixa a partir de uma placa de papelão de lado medindo 10 m podemos retirar de cada um dos cantos dessa placa um quadrado de lado x que será a altura da caixa, logo teremos uma caixa, com a planificação conforme a figura abaixo, de dimensões 10 - x, 10 - x e x cujo volume será dado por:
V = (10 - x) . (10 - x) . x
V = x³ - 20x² + 100x
Para obtermos os máximos e mínimos devemos igualar a derivada primeira da função a zero.
V' = 3x² - 40x + 100 = 0
Δ = b² - 4ac
Δ = 1600 - 1200
Δ = 400
x = (- b ± √Δ) / 2a
x = (40 ± 20) / 6
x' = 10 e x'' = 10/3
Pelo teste da derivada segunda temos:
V'' = 6x - 40
V''(10) = 60 - 40 = 20 (mínimo)
V''(10/3) = 60/3 - 40 = -20 (máximo)
Portanto, a altura máxima da caixa deve ser de 10/3 m para que seu volume seja máximo.
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Para que o volume da caixa seja máximo, aplicando os conceitos de volume e derivada temos que a altura da caixa deverá ser 10/3 m.
Geometria Espacial - Volume
Para responder a esta questão vamos aplicar o volume de um paralelepípedo reto retângulo de dimensões a, b e c.
V = a . b . c
Como devemos construir a caixa a partir de uma placa de papelão de lado medindo 10 m podemos retirar de cada um dos cantos dessa placa um quadrado de lado x que será a altura da caixa, logo teremos uma caixa, com a planificação conforme a figura abaixo, de dimensões 10 - x, 10 - x e x cujo volume será dado por:
V = (10 - x) . (10 - x) . x
V = x³ - 20x² + 100x
Para obtermos os máximos e mínimos devemos igualar a derivada primeira da função a zero.
V' = 3x² - 40x + 100 = 0
Δ = b² - 4ac
Δ = 1600 - 1200
Δ = 400
x = (- b ± √Δ) / 2a
x = (40 ± 20) / 6
x' = 10 e x'' = 10/3
Pelo teste da derivada segunda temos:
V'' = 6x - 40
V''(10) = 60 - 40 = 20 (mínimo)
V''(10/3) = 60/3 - 40 = -20 (máximo)
Portanto, a altura máxima da caixa deve ser de 10/3 m para que seu volume seja máximo.
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#SPJ1
Resposta:
100m2 x 5,00 = 500 m3
Explicação passo a passo: