Utilizando os conhecimentos sobre Derivadas e Problemas de Otimização encontramos que a altura que maximiza o volume da caixa formada pelo papelão quadrado com 10m de lado é de 1,67m ou seja, Alternativa 1.

Problemas de Otimização

Problemas de otimização são problemas clássicos de Cálculo que tem como objetivo encontrar os maiores e menores valores que uma função pode tomar.

Normalmente é resolvido através do estudo da derivada de uma função que queremos maximizar ou minimizar. Vamos utilizar o problema como exemplo.

O volume de um paralelepípedo de base quadrada é:

V = b²h

Onde,

b = Dimensão dos lados da base

h = altura

Para construir uma caixa a partir do papelão, precisamos cortar um pedaço quadrado de cada vértice do quadrado, de forma que o lado do quadrado cortado se torna a altura da caixa.

Com isso, temos que o quadrado que forma a base dessa caixa, ficará com lado 10 - 2x. Utilizando a fórmula para volume de paralelepípedo:

V = b²h

V = (10-2x)² * x

V = 4x³ - 40x² + 100x

Para encontrarmos o valor da altura que maximiza, basta encontrarmos a derivada da função volume com relação a x.

V(x) = 4x³ - 40x² + 100x

V'(x) = 12x²- 80x + 100

Agora basta encontrar as raízes da equação, ou seja, os valores de x tal que V'(x) = 0

Fazendo as contas, encontramos que:

x = 1,67m e x = 5m

se x = 5m, a área da base seria igual a zero,

Ou seja, o valor da altura para a caixa ter volume máximo é de 1,67m

Para saber mais sobre Problemas de Otimização: https://brainly.com.br/tarefa/21841295

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