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Com base na demonstração do teorema fundamental do cálculo, temos que a unica alternativa correta é a IV).

Teorema fundamental do cálculo

O teorema fundamental do cálculo é um teorema que liga o conceito de integração de uma função com o de diferenciação de uma função. O teorema fundamental do cálculo justifica o procedimento calculando a diferença entre a antiderivada nos limites superior e inferior do processo de integração.

O fato chave é que, se f é contínua, a função [tex]G(x)=\displaystyle\int_a^xf(t)\,dt[/tex] é uma antiderivada para f. Por esta,

[tex]\displaystyle\frac1h\,\left(\int_a^{x+h}f(t)\,dt-\int_a^xf(t)\,dt\right)=\frac1h\,\int_x^{x+h}f(t)\,dt\xrightarrow[h\to0]{}f(x).[/tex]

A justificação do limite joga basicamente com o fato de que f é contínua. Uma prova formal requer lidar com a definição formal de continuidade. Nomeadamente, dado ε>0 por definição de continuidade existe δ>0 tal que |f(x)−f(t)|<ε sempre que |x−y|<δ. Se escolhermos h<δ, então |f(t)−f(x)|<ε para todo t∈[x,x+h]. Então

[tex]\displaystyle f(x)&=\frac1h\int_x^{x+h}f(x)\,dt\leq\frac1h\int_x^{x+h}(\varepsilon +f(t))\,dt=\varepsilon + \frac1h\int_x^{x+h}f(t)\,dt\\[0.3cm]&\leq2\varepsilon + \frac1h\int_x^{x+h}f(t)\,dt=2\varepsilon+f(x).[/tex]

Desta forma

[tex]\displaystyle f(x)-\varepsilon\leq \frac1h\int_x^{x+h}f(t)\,dt\leq f(x)+\varepsilon,[/tex]

mostrando a convergência.

Agora,

Se F é qualquer outra antiderivada de f, temos F′=f=G′, então (G−F)′=G′−F′=0, i .e. G(x)−F(x)=c para alguma constante. Ou seja, F(x)=G(x)−c. Então,

[tex]F(b)-F(a)=(G(b)-c)-(G(a)-c)=G(b)-G(a)=\displaystyle\int_a^bf(t)\,dt.[/tex]

Sendo assim podemos resolver o exercício.

I)

[tex]\displaystyle\int _{-2}^2\:x^2dx=\left[\frac{x^3}{3}\right]_{-2}^2=\frac{16}{3}[/tex]

II)

[tex]\displaystyle\int _0^3\:x^3dx=\left[\frac{x^4}{4}\right]_0^3=\frac{81}{4}[/tex]

III)

[tex]\displaystyle\int _1^3\:x^2+2x-1dx=\int _1^3x^2dx+\int _1^32xdx-\int _1^31dx=\frac{26}{3}+8-2=\frac{44}{3}[/tex]

IV)

[tex]\displaystyle\int _0^{\frac{\pi }{2}}\:sen\left(x\right)dx=\left[-\cos \left(x\right)\right]_0^{\frac{\pi }{2}}=1[/tex]

Observação: Acredito que as alternativas estejam erradas, pois a única correta é alternativa IV)

Saiba mais sobre o teorema fundamental do cálculo: https://brainly.com.br/tarefa/24217677

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