OBMEP 2018 - 2a fase - nível 3 - Questão 5c
Em uma caixa há 6 barbantes idênticos. Em cada etapa, duas extremidades de barbantes são escolhidas ao acaso e amarradas com um nó. O processo é repetido até que não haja mais extremidades livres.
Qual é a probabilidade de que, na última etapa, sejam amarradas as duas pontas de um dos barbantes originais?
Desejo uma resposta DISTINTA da oficial.
Em uma caixa há 6 barbantes idênticos. Em cada etapa, duas extremidades de barbantes são escolhidas ao acaso e amarradas com um nó. O processo é repetido até que não haja mais extremidades livres.
Qual é a probabilidade de que, na última etapa, sejam amarradas as duas pontas de um dos barbantes originais?
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Resposta:
P = [tex]\frac{1}{11}[/tex] ≅ 9,09%.
Explicação passo a passo:
Para facilitar o raciocínio, vamos numerar os barbantes de 1 a 6.
Vamos calcular a probabilidade de que as duas pontas do barbante 1 sejam amarradas na última etapa.
Para que isto aconteça, todas as outras pontas dos outros barbantes têm de ser escolhidas em etapas anteriores.
Ora, como há seis barbantes na caixa, e como cada barbante tem duas pontas, há um total de doze pontas, dez das quais não pertencem ao barbante 1.
Assim, a probabilidade de se escolher essas dez pontas, em qualquer ordem, antes de se escolher alguma ponta do barbante 1 é:
[tex]P' = \frac{10}{12}\,.\,\frac{9}{11}\,.\,\frac{8}{10}\,.\,\frac{7}{9}\,.\,\frac{6}{8}\,.\,\frac{5}{7}\,.\,\frac{4}{6}\,.\,\frac{3}{5}\,.\,\frac{2}{4}\,.\,\frac{1}{3} = \frac{2}{132}.[/tex]
Este mesmo raciocínio se aplica a todos os seis barbantes.
Logo, a probabilidade de que, na última etapa, sejam amarradas as duas pontas de um dos barbantes originais, qualquer que seja esse barbante, é seis vezes a probabilidade calculada acima, isto é:
[tex]P = 6\,.\,\frac{2}{132} = \frac{1}{11}.[/tex]