Resposta:

Explicação passo a passo:

(a) Prova: Suponha que x é irracional e y é racional. Então, se x + y fosse racional, teríamos:

x + y - y = x

Assim, x seria a diferença de dois números racionais, o que implicaria que x é racional. Mas isso é uma contradição, já que x foi definido como um número irracional. Portanto, concluímos que x + y é irracional.

(b) Contraexemplo: Considere x = raiz quadrada de 2 e y = -raiz quadrada de 2. Então, x + y = 0, que é um número racional, mas tanto x quanto y são irracionais.

(c) Prova: Suponha que x é irracional e y é racional. Se xy fosse racional, poderíamos escrevê-lo na forma de fração, ou seja, xy = a/b, onde a e b são inteiros e b é diferente de zero. Então, temos:

x = (a/b)/y = a/(by)

Assim, x seria a razão entre dois números inteiros, o que implicaria que x é racional. Mas isso é uma contradição, já que x foi definido como um número irracional. Portanto, concluímos que xy é irracional.

(d) Contraexemplo: Considere x = raiz quadrada de 2 e y = -raiz quadrada de 2. Ambos são irracionais, mas sua soma é zero, que é um número racional.

(e) Prova: Suponha que x é um número irracional positivo e que a raiz quadrada de x é um número racional. Então, podemos escrever:

raiz quadrada de x = a/b

onde a e b são inteiros e b é diferente de zero. Elevando ambos os lados ao quadrado, obtemos:

x = (a/b)^2 = a^2/b^2

Assim, x seria a razão entre dois números inteiros, o que implicaria que x é racional. Mas isso é uma contradição, já que x foi definido como um número irracional. Portanto, concluímos que a raiz quadrada de x é um número irracional.