Réponse :

Pour trouver un intervalle [a,b] contenant la solution de la fonction f, nous allons chercher les racines de la fonction f en résolvant f(x) = 0 :

x²ex - 1 = 0

x²ex = 1

x² = 1/ex

x = ± √(1/ex)

La fonction f est définie pour tout x réel, donc l'intervalle [a,b] contenant la solution est ]-∞, +∞[.

Pour calculer la solution approchée avec une précision de € = 10 exposant -5, nous pouvons utiliser la méthode de Newton-Raphson. Nous avons :

f(x) = x²ex - 1

f'(x) = 2xex + x²ex = x(ex + 2)

La méthode de Newton-Raphson consiste à répéter l'opération suivante jusqu'à atteindre la précision souhaitée :

xn+1 = xn - f(xn)/f'(xn)

Nous allons prendre x0 = 1, car f(1) = e - 1 > 0 et f(0) = -1 < 0, donc la solution est entre 0 et 1. Nous avons :

x1 = x0 - f(x0)/f'(x0) = 1 - (e - 1)/(e + 2) ≈ 0,7035

x2 = x1 - f(x1)/f'(x1) ≈ 0,5671

x3 = x2 - f(x2)/f'(x2) ≈ 0,5671

x4 = x3 - f(x3)/f'(x3) ≈ 0,5671

La solution approchée avec une précision de € = 10 exposant -5 est donc x ≈ 0,5671.

Pour résoudre le système d'équations linéaires par la méthode d'élimination de Gauss, nous allons d'abord écrire le système sous forme matricielle :

| 1 2 3 4 | | x1 | | 11 |

| 2 3 4 2 | x | x2 | = | 12 |

| 3 4 1 2 | | x3 | | 13 |

| 4 1 2 3 | | x4 | | 14 |

Nous allons effectuer des opérations élémentaires sur les lignes pour éliminer les coefficients en dessous de la diagonale.

1ère étape : on soustrait deux fois la première ligne à la deuxième ligne, trois fois la première ligne à la troisième ligne, et quatre fois la première ligne à la quatrième ligne :

| 1 2 3 4 | | x1 | | 11 |

| 0 -1 -2 -6 | x | x2 | = | -2 |

| 0 -2 -8 -10 | | x3 | | -14|

| 0 -7 -10 -13 | | x4 | | -34|

2ème étape : on ajoute deux fois la deuxième ligne à la troisième ligne, et sept fois la deuxième ligne à la quatrième ligne :

| 1 2 3 4 | 11 |

| 0 -1 -2 18 | -6 |

| 0 2 -5 52 | 14 |

| 0 15 2 130 | 2 |

3ème étape : on ajoute cinq fois la troisième ligne à la quatrième ligne :

| 1 2 3 4 | 11 |

| 0 -1 -2 18 | -6 |

| 0 2 -5 52 | 14 |

| 0 90 -23 390 | 72 |

Maintenant, on peut remonter pour trouver les valeurs des inconnues :

X4 = 390 / 23

X3 = (52 - 5X4 + 14) / 2

X2 = (-6 + 2X3 - 18) / -1

X1 = 11 - 2X2 - 3X3 - 4X4

Il suffit donc de substituer les valeurs de X4, X3, X2 dans la formule de X1 pour trouver la solution du système.