Réponse :

On donne l'équation du second degré en x: (m+1)x² - (m+3)x+ 3-m= 0, où m est un parametre reel

1° Calculer le discriminant in et étudier son signe selon les valeurs de m. En déduire les valeurs de m pour lesquelles l'équation admet deux racines distinctes x, et x₂.

Δ = (m+3)² - 4(m+1)(3-m)

   = m²+6m+9 - 4(3m-m² + 3-m)

   =  m²+6m+9 - 4(-m² + 2m + 3)

   =  m²+6m+9 + 4m² - 8m - 12

Δ = 5m² - 2m - 3

δ = 4 + 60 = 64 > 0

m1 = (2+8)/10 = 1

m2 = (2-8)/10 = - 3/5

  m  - ∞                        - 3/5                       1                          + ∞

  Δ                   +              0             -           0             +

Δ > 0  ⇔  m ∈ ]- ∞ ; - 3/5[U]1 ; + ∞[   l'équation possède 2 racines distinctes  x1 et x2

2° Calculer les valeurs des racines doubles.

Δ = 0   ⇔ m1 = - 3/5   ou m = 1   l'équation admet des racines doubles

pour m = - 3/5  ⇒ x = (m+3)/2(m+1) = (-3/5 + 3)/2(-3/5 + 1)

                                = 12/5/4/5

                                = 3

pour m = 1   ⇒ x = (1+3)/2(1+1) = 4/4 = 1                            

3° Calculer l'expression: (x,-2) (x₂-2) et en déduire la relation indépendante de m entre les racines.

(x1 - 2)(x2 - 2) = x1x2 - 2x1 - 2x2 + 4 = x1x2 - 2(x1 + x2) + 4

4° Retrouver les valeurs des racines doubles.

5° Utiliser cette relation pour déterminer x₁ et x2 et m pour que l'on ait : x₁-2x2 = -1.

Explications étape par étape :