On souhaite démontrer la formule d'Al-Kashi
qui dit que, dans un triangle ABC quelconque,
BC² = AB2+ AC² - 2x AB X ACX cos (BAC).
1. On rappelle que BC^2 = BC^2 (vecteur), démontrer que
BC² = BA^2 + 2BA.AC+ AC^2.
2. Déterminer une expression de AB.AC et, en utilisant la question précédente, retrouver alors la formule
d'Al-Kashi.
qui dit que, dans un triangle ABC quelconque,
BC² = AB2+ AC² - 2x AB X ACX cos (BAC).
1. On rappelle que BC^2 = BC^2 (vecteur), démontrer que
BC² = BA^2 + 2BA.AC+ AC^2.
2. Déterminer une expression de AB.AC et, en utilisant la question précédente, retrouver alors la formule
d'Al-Kashi.
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Pour démontrer que BC² = BA² + 2BA.AC + AC², nous allons utiliser le théorème de Pythagore dans les triangles BAC et ABC.
Dans le triangle BAC, nous avons :
BA² + AC² = BC² - 2BC.BD + BD² (où D est un point sur BC)
Et dans le triangle ABC, nous avons :
BC² = AB² + AC² - 2AB.AC.cos(BAC)
En remplaçant la première équation dans la seconde et en simplifiant, on obtient :BC^2 = BA^2+ 2BA.AC+ AC^2
Ainsi, la formule d'Al-Kashi est démontrée.
Nous savons que AB.AC = ||AB|| x ||AC|| x cos(BAC) (où ||AB|| désigne la norme du vecteur AB). En utilisant cette expression pour remplacer cos(BAC) dans la formule précédente, on obtient:
BC^2= BA^2+ AB.AC+ AC^22- AB . AC .cos( BAC)
En regroupant les termes contenant AB.AC ,on trouve :
BC ^ 2= BA ^ 22+ AC ^22- AB.ACXcos( BCA )
C'est exactement la formule d'Al-Kashi.