Resposta:

Para determinar os vértices, focos e excentricidade das equações de hipérboles dadas, precisamos reescrevê-las na forma canônica:

• a) A equação a ser reescrita na forma canônica é 4y² - x² - 16 = 0.

Reescrevendo-a, temos:

4y² - x² = 16

Dividindo toda a equação por 16, temos:

y²/4 - x²/16 = 1

A partir dessa equação na forma canônica, podemos identificar os valores a, b e c, onde a² = 4, b² = 16 e c² = a² + b² = 4 + 16 = 20.

Comparando a equação na forma canônica com a equação geral da hipérbole, podemos concluir que o centro da hipérbole está localizado na origem (0,0).

Para encontrar os vértices, focos e excentricidade, podemos usar as seguintes fórmulas:

Vértices: (0, ± a)

Focos: (0, ± c)

Excentricidade: e = c/a

Substituindo os valores de a e c, temos:

Vértices: (0, ± √4) = (0, ± 2)

Focos: (0, ± √20) ≈ (0, ±4.47)

Excentricidade: e = √20/2 ≈ 2.24/2 ≈ 1.12

Portanto, os vértices da hipérbole são (0, ± 2), os focos são (0, ± 4.47) e a excentricidade é aproximadamente 1.12.

• b) A equação a ser reescrita na forma canônica é x² - y² = 4.

Reescrevendo-a, temos:

(x²/4) - (y²/(-4)) = 1

Dividindo toda a equação por 4, temos:

(x²/2) - (y²/(-2)) = 1

A partir dessa equação na forma canônica, podemos identificar os valores a, b e c, onde a² = 2, b² = 2 e c² = a² + b² = 2 + 2 = 4.

Comparando a equação na forma canônica com a equação geral da hipérbole, podemos concluir que o centro da hipérbole está localizado na origem (0,0).

Para encontrar os vértices, focos e excentricidade, podemos usar as mesmas fórmulas mencionadas anteriormente:

Vértices: (± a, 0)

Focos: (± c, 0)

Excentricidade: e = c/a

Substituindo os valores de a e c, temos:

Vértices: (± √2, 0)

Focos: (± √4, 0) = (±2, 0)

Excentricidade: e = √4/√2 = 2/√2 = √2

Portanto, os vértices da hipérbole são (± √2, 0), os focos são (±2, 0) e a excentricidade é √2.