Resposta:

Para determinar o foco, reta diretriz e vértice das parábolas dadas, precisamos reescrevê-las na forma canônica:

• a) A equação a ser reescrita na forma canônica é x² = 8y.

A partir dessa equação, podemos identificar o vértice, que é o ponto (h, k), onde h = 0 e k = 0, já que a equação foi originalmente dada como x² = 8y.

Portanto, o vértice da parábola é (0,0).

Para encontrar o foco e a reta diretriz, podemos usar as seguintes fórmulas:

Foco: (h, k + 1/4a)

Reta diretriz: y = k - 1/4a

Nesse caso, a = 1/8 (2a = 1, pois a é igual a metade do coeficiente de y na equação)

Substituindo os valores, temos:

Foco: (0, 0 + 1/4 * 1/8) = (0, 1/32)

Reta diretriz: y = 0 - 1/4 * 1/8 = -1/32

Portanto, o foco da parábola é (0, 1/32) e a reta diretriz é y = -1/32.

• b) A equação a ser reescrita na forma canônica é y = x²/4 - x + 3.

Para reescrevê-la na forma canônica, podemos completar o quadrado.

y = (x² - 4x + ?) + 3 - ?

A constante que precisamos adicionar para completar o quadrado é (-4/2)² = 4.

Adicionando essa constante em ambos os lados, temos:

y + 4 = (x - 2)² - 4

y + 4 = (x - 2)² - 8/2

y + 4 = (x - 2)² - 4

A partir dessa equação na forma canônica, podemos identificar o vértice, que é o ponto (h, k), onde h = 2 e k = -4.

Portanto, o vértice da parábola é (2, -4).

Para encontrar o foco e a reta diretriz, podemos usar as seguintes fórmulas:

Foco: (h, k + 1/4a)

Reta diretriz: y = k - 1/4a

Nesse caso, a = 1/4.

Substituindo os valores, temos:

Foco: (2, -4 + 1/4 * 4) = (2, -4 + 1) = (2, -3)

Reta diretriz: y = -4 - 1/4 * 4 = -4 - 1 = -5

Portanto, o foco da parábola é (2, -3) e a reta diretriz é y = -5.