PERGUNTA 3
Uma partícula eletricamente carregada se move sobre uma superfície metálica que tem a forma do gráfico da função f left parenthesis x comma y right parenthesis equals 3 x squared plus 7 y squared. Suponha que a parametrização da curva descrita pela partícula seja r left parenthesis t right parenthesis equals left parenthesis t squared comma t cubed plus 1 right parenthesis
Assinale a alternativa que apresenta a forma de se calcular a taxa de variação da partícula descrita acima.
a.
gamma apostrophe left parenthesis t right parenthesis equals 41 t to the power of 6 plus 13 t cubed plus 28 t.
b.
gamma apostrophe left parenthesis t right parenthesis equals 42 t to the power of 5 plus 12 t cubed plus 28 t.
c.
gamma apostrophe left parenthesis t right parenthesis equals 42 t to the power of 6 plus 12 t cubed plus 28 t.
d.
gamma apostrophe left parenthesis t right parenthesis equals 42 t to the power of 6 plus 13 t cubed plus 25 t.
e.
gamma apostrophe left parenthesis t right parenthesis equals 42 t to the power of 5 plus 12 t to the power of 4 plus 28 t.
Uma partícula eletricamente carregada se move sobre uma superfície metálica que tem a forma do gráfico da função f left parenthesis x comma y right parenthesis equals 3 x squared plus 7 y squared. Suponha que a parametrização da curva descrita pela partícula seja r left parenthesis t right parenthesis equals left parenthesis t squared comma t cubed plus 1 right parenthesis
Assinale a alternativa que apresenta a forma de se calcular a taxa de variação da partícula descrita acima.
a.
gamma apostrophe left parenthesis t right parenthesis equals 41 t to the power of 6 plus 13 t cubed plus 28 t.
b.
gamma apostrophe left parenthesis t right parenthesis equals 42 t to the power of 5 plus 12 t cubed plus 28 t.
c.
gamma apostrophe left parenthesis t right parenthesis equals 42 t to the power of 6 plus 12 t cubed plus 28 t.
d.
gamma apostrophe left parenthesis t right parenthesis equals 42 t to the power of 6 plus 13 t cubed plus 25 t.
e.
gamma apostrophe left parenthesis t right parenthesis equals 42 t to the power of 5 plus 12 t to the power of 4 plus 28 t.
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Resposta:
Explicação passo a passo:
Para calcular a taxa de variação da partícula descrita pela parametrização \( r(t) = (t^2, t^3 + 1) \), você deve derivar a função \( r(t) \) em relação a \( t \). Isso lhe dará a taxa de variação da posição da partícula com o tempo. Vamos calcular a derivada:
\[ r'(t) = \left( \frac{d}{dt} t^2, \frac{d}{dt} (t^3 + 1) \right) = (2t, 3t^2) \]
Agora, podemos comparar essa derivada com as opções fornecidas:
a. \( \gamma'(t) = 41t^6 + 13t^3 + 28t \)
b. \( \gamma'(t) = 42t^5 + 12t^3 + 28t \)
c. \( \gamma'(t) = 42t^6 + 12t^3 + 28t \)
d. \( \gamma'(t) = 42t^6 + 13t^3 + 25t \)
e. \( \gamma'(t) = 42t^5 + 12t^4 + 28t \)
A opção que corresponde à derivada de \( r(t) \) é a opção (c):
\[ \gamma'(t) = 42t^6 + 12t^3 + 28t \]
Portanto, a alternativa correta é a opção (c).