Pouvez vous m aidez pour mon dm de math je dois faire la partie 3 et 4. J ai réussi la première ques.... Pergunta de ideia deLea2702

October 2020 1 118 Report

Pouvez vous m aidez pour mon dm de math je dois faire la partie 3 et 4. J ai réussi la première question de la partie 3 mais je n arrive pas au reste

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godetcyril

Réponse : Bonjour,

Partie 3

$u_{n+1}=|z_{n+1}|=|cz_{n}|=|c||z_{n}|=|\frac{1+i}{2}||z_{n}|=\sqrt{(\frac{1}{2})^{2}+(\frac{1}{2})^{2}}|z_{n}|\\=\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{1}{4}}|z_{n}|=\frac{1}{\sqrt{2}}|z_{n}|=\frac{\sqrt{2}}{2}|z_{n}|=\frac{\sqrt{2}}{2}u_{n}$

Donc $(u_{n})$ est une suite géométrique de raison $q=\frac{\sqrt{2}}{2}$ et de premier terme $u_{0}=|z_{0}|=2$ .

Donc l'expression de $u_{n}$ en fonction de n est:

$u_{n}=u_{0} \times (\frac{\sqrt{2}}{2})^{n}=2 \times (\frac{\sqrt{2}}{2})^{n}=\frac{(\sqrt{2})^{n}}{2^{n-1}}$

b) La raison de $(u_{n})$ a une raison $q=\frac{\sqrt{2}}{2}$ , tel que $-1 < \frac{\sqrt{2}}{2} < 1$ .

Donc la limite de $(u_{n})$ quand n tend vers +∞ est 0.

c) Je vous laisse faire l'algorithme, je ne traite que la partie mathématique.

$u_{n} < 0,01\\2 \times (\frac{\sqrt{2}}{2})^{n} < 0,01\\(\frac{\sqrt{2}}{2})^{n} < \frac{0,01}{2}\\e^{n \ln(\frac{\sqrt{2}}{2})} < 0,005\\\ln(e^{n \ln(\frac{\sqrt{2}}{2})}) < \ln(0,005)\\n\ln(\frac{\sqrt{2}}{2}) < \ln(0,005)\\n > \frac{\ln(0,005)}{\ln(\frac{\sqrt{2}}{2})}=\frac{\ln(0,005)}{\ln(\sqrt{2})-\ln(2)}=\frac{\ln(0,005)}{\frac{1}{2}\ln(2)-\ln(2)}=\frac{\ln(0,005)}{-\frac{1}{2}\ln(2)}=\ln(0,005) \times -\frac{2}{\ln(2)}\\n > -\frac{2\ln(0,005)}{\ln(2)} \approx 15,3$

Donc le plus petit entier n tel que $u_{n} < 0,01$ est n=16.

Partie 4

On a:

$I_{n}=\sum_{k=0}^{n-1} A_{k}A_{k+1}$ .

Calculons pour tout entier k:

$A_{k}A_{k+1}=|z_{k+1}-z_{k}|=|2(\frac{1+i}{2})^{k+1}-2(\frac{1+i}{2})^{k}|=|(\frac{1+i}{2})^{k}(2(\frac{1+i}{2})-2)|\\=|(\frac{1+i}{2})^{k}|1+i-2|=|(\frac{1+i}{2})^{k}||-1+i|$

Mettons tout d'abord $(\frac{1+i}{2})^{k}$ sous forme exponentielle.

On a vu que le module de $\frac{1+i}{2}$ était $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Calculons un argument $\theta$ de $\frac{1+i}{2}$ :

$\cos(\theta)=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{1}{2} \times \frac{2}{\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\\\sin(\theta)=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{1}{2} \times \frac{2}{\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

Donc un argument de $\frac{1+i}{2}$ est $\frac{\pi}{4}$ .

On a donc:

$(\frac{1+i}{2})^{k}=(\frac{\sqrt{2}}{2}e^{i \frac{\pi}{4}})^{k}$

Il faut maintenant calculer le module de -1+i:

$|-1+i|=\sqrt{(-1)^{2}+1^{2}}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$ .

On a donc:

$A_{k}A_{k+1}=|(\frac{\sqrt{2}}{2}e^{i \frac{\pi}{4}})^{k}|\sqrt{2}=|(\frac{\sqrt{2}}{2})^{k}||e^{i \frac{k\pi}{4}}|\sqrt{2}=(\frac{\sqrt{2}}{2})^{k}\sqrt{2}$

Cette expression de $A_{k}A_{k+1}$ est une suite géométrique de raison $q=\frac{\sqrt{2}}{2}$ et de premier terme $\sqrt{2}$ .

On a donc:

$I_{n}=\sum_{k=0}^{n-1} A_{k}A_{k+1}=\sum_{k=0}^{n-1} \sqrt{2}(\frac{\sqrt{2}}{2})^{k}=\sqrt{2}\frac{1-(\frac{\sqrt{2}}{2})^{n}}{1-\frac{\sqrt{2}}{2}}=\sqrt{2}\frac{1-(\frac{\sqrt{2}}{2})^{n}}{\frac{2-\sqrt{2}}{2}}\\=\sqrt{2}\frac{2}{2-\sqrt{2}}(1-(\frac{\sqrt{2}}{2})^{n})$

Comme $-1 < \frac{\sqrt{2}}{2} < 1$ , alors $\lim_{n \mapsto +\infty} (\frac{\sqrt{2}}{2})^{n}=0$ .

On en déduit que:

$\lim_{n \mapsto +\infty} I_{n}=\frac{2\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}}$ .

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Lea2702 Merci beaucoup

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