Réponse :

1) démontrer que N est le milieu de (AC)

sachant que (MN)// (BC) ⇒ th.Thalès

AM/AB = AN/AC

sachant que M milieu de AB ⇒ AM = MB  ou AB = 2 x AM

AM/2AM = AN/AC ⇔ 1/2 = AN/AC  ; or AC = AN + NC

⇔ 1/2 = AN/(AN+NC) ⇔ AN + NC = 2 x AN ⇔ (AN + NC)/AN = 2

⇔ AN/AN + NC/AN = 2 ⇔ 1 + NC/AN = 2 ⇔ NC/AN = 1 ⇔ NC = AN

Donc N est le milieu de (AC)

2) démontrer que S est le milieu de (BC)

puisque (NS) // (AB) ⇒ th.Thalès : CN/CA = CS/CB  or CA = 2 x CN

⇔ CN/2 x CN = CS/(CS+SB) ; or CB = CS+SB

⇔ 1/2 = CS/(CS + SB) ⇔ CS + SB = 2 x CS ⇔ (CS + SB)/CS = 2

⇔ CS/CS + SB/CS = 2 ⇔ 1 + SB/CS = 2 ⇔ SB/CS = 1 ⇔ SB = CS

Donc  S est le milieu de (BC)

  4) quelle est la nature du quadrilatère MNSB ?

on a (NS) // (BM) et ( MN) // (BS)  car A ; M et B sont alignés  ainsi que B; S et C

de plus MN = BS et NS = BM   donc MNSB est un parallélogramme

Explications étape par étape