Resposta:

lim [√(1+x) - 1] *√(1+x) + 1] /{ √(1+x) + 1] *x}

x-->0

lim [√(1+x)² -1]  /{ √(1+x) + 1] *x}

x-->0

lim [1+x - 1]  /[ √(1+x) + 1] *x}

x-->0

lim x /{ √(1+x) + 1] *x}

x-->0

lim 1 /{√(1+x) + 1]     =1/{1+1} =1/2

x-->0

Resposta:   [tex]\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1-x}-1}{x}=\frac{1}{2}.[/tex]

Explicação passo a passo:

Calcular o limite

    [tex]\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1-x}-1}{x}[/tex]

Faça a seguinte mudança de variável:

    [tex]\begin{aligned}\sqrt{1+x}=u&\quad\Longrightarrow\quad&1+x=u^2\\ &\quad\Longleftrightarrow\quad&x=u^2-1 \end{aligned}[/tex]

e [tex]u\to 1[/tex] quando [tex]x\to 0.[/tex]

Substituindo, o limite fica

    [tex]\begin{array}{l}\displaystyle=\lim_{u\to 1}\frac{u-1}{u^2-1}\\\\ \displaystyle=\lim_{u\to 1}\frac{u-1}{u^2-1^2}\end{array}[/tex]

Fatore o a diferença entre quadrados que aparece no denominador (produtos notáveis):

    [tex]\displaystyle=\lim_{u\to 1}\frac{u-1}{(u-1)(u+1)}[/tex]

Simplificando o fator comum, o limite fica

    [tex]\begin{array}{l}\displaystyle=\lim_{u\to 1}\frac{1}{u+1}\\\\ =\dfrac{1}{1+1}\\\\ =\dfrac{1}{2}\quad\longleftarrow\quad\mathsf{resposta.}\end{array}[/tex]

Dúvidas? Comente.

Bons estudos!