Para determinar quantas relações existem em um conjunto com n elementos, precisamos entender o que é uma relação entre elementos de um conjunto. Em matemática, uma relação é simplesmente um subconjunto do produto cartesiano do conjunto consigo mesmo.

O produto cartesiano de um conjunto A com um conjunto B é o conjunto de todos os pares ordenados em que o primeiro elemento pertence a A e o segundo elemento pertence a B. Representa-se o produto cartesiano como A × B.

Se considerarmos o conjunto A como sendo o mesmo conjunto original, o produto cartesiano de A com A é A × A, e é nesse conjunto que procuramos subconjuntos que representam relações.

Agora, para contar a quantidade de subconjuntos (relações) em A × A, basta sabermos o número de elementos do conjunto de potência de A × A (ou seja, o conjunto de todos os subconjuntos possíveis).

O conjunto de potência de um conjunto com n elementos possui 2^n elementos.

Portanto, a resposta correta é:

c) existem 2^(n^2) relações.